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Fall 2015: Algèbre
[TOC]
-
nomenclature
- entiers naturels :
$\N={1,2,\ldots}$ - entiers (relatifs) :
$\Z={\ldots,-1,0,1,\ldots}$ - nombres rationnels :
$\Q={\frac{a}{b}\mid a,b\in\Z}$ - nombres rées :
$\R$ développement décimal infini - nombres complexes :
$\C={a+ib\mid a,b\in\R\cap i^2=-1}$ - inclusions :
$\N\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C$
- entiers naturels :
-
divisibilité :
$a|b\tq aq=b; a,b,q\in\N$ ($a$ divise$b$ )- division euclidienne :
$b=aq+r\tq a,b,q,r\in\N_0$ avec quotient$q$ et reste$r<a$
- division euclidienne :
-
nombre premier : deux diviseurs
$1$ et lui-même ($1$ non premier)- premier entre eux :
$(a,b)=1$ - premier deux à deux :
$(a_i,a_j)=1\quad\forall i\not =j$ - théorème d'Euclide : nombres premiers infini
- premier entre eux :
-
PGCD (plus grand commun diviseur) :
$(a,b)$ tel que$d|a$ ,$d|b$ ,$d'|a$ ,$d'|b$ avec$d'\le d$ -
$e|a$ et$e|b\implies e|(a,b)$ - si
$a|bc$ et$(a,b)=1\implies a|c$
-
-
PPCM (plus petit commun multiple) :
$[a,b]$ tel que$a|m$ ,$b|m$ ,$\forall n$ multiple commun$m\le n$ -
$a|n$ et$b|n\implies [a,b]|n$
-
-
algorithm d'euclide :
$a,b\in\N$ avec$b\ge a$ et$r_n=(a,b)$ (dernier reste non nul) $\begin{align} b&=aq_1+r_1\ a&=r_1q_2+r_2\ r_1&=r_2q_3+r_3\ &\quad\vdots\ r_{n-2}&=r_{n-1}q_n+r_n\ r_{n-1}&=r_nq_{n+1}+0\end{align}$ -
identité de Bezout : existe
$r,s\in\Z\tq d=as+br$ avec$d=(a,b)$ (non unique) -
factorisation : tout nombre entier s'écrit comme un produit de nombres premiers
$a=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}$ (unique)$a=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}$ $b=p_1^{f_1}\cdots p_n^{f_n}$ -
$a$ divise$b$ sii$e_i\le f_i;\forall i$ -
$(a,b)=d=p_1^{h_1}\cdots p_n^{h_n}$ où$h_i=\min(e_i,f_i)$ -
$[a,b]=d=p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ où$k_i=\max(e_i,f_i)$ $a\cdot b=[a,b]\cdot (a,b)$
-
congruence modulo
$m$ :$a\equiv b\mod m$ tel que$b=a+km$ pour$a,0\ge b<m,m>1,k\in\Z$ -
$a$ et$b$ sont congrus modulo$m$ (modulus) - ensemble :
${b+km\mid k\in\Z}$ - relation d'équivalence : reflexive, transitive, symétrique
$a+a'\equiv b+b'\mod m$ $aa'\equiv bb'\mod m$ - pas de simplification classique
-
-
changement de modulus
-
$a\equiv b\mod m$ et$d|m\implies a\equiv b\mod d$ -
$a\equiv b\mod r$ et$a\equiv b\mod s\implies a\equiv b\mod [r,s]$ $ra\equiv rb\mod m\implies a\equiv b\mod\frac{m}{(r,m)}$
-
-
classe de congruence :
$[a]_m$ ensemble des entiers congrus à$a$ modulo$m$ - ensemble des classes modulo
$m$ :$\Z/m\Z$ -
$b\in [a]_m$ ssi$a\equiv b\mod m$ -
$[a]_m=[b]_m$ ssi$a\equiv b\mod m$ -
$m$ différentes classes :$[0]_m,\ldots,[m-1]_m$ - représentant : entier dans une classe
- élément neutre addition :
$[0]_m$ - élément neutre multiplication :
$[1]_m$
- ensemble des classes modulo
-
unité :
$[a]_m$ possède un inverse$[b]_m\in\ZmZ\tq[a]_m[b]_m=[1]_m$ ssi$(a,m)=1$ -
indicatrice d'Euler :
$\varphi(m)$ nombre d'entiers naturels$a<m$ premiers à$m$ $(m,n)=1\implies \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ -
$\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}$ avec$p$ premier
-
anneau :
$(R,+,\cdot,0,1)$ avec ensemble, deux opérations internes, deux éléments particuliers distincts-
$+$ - associatif :
$(a+b)+c=a+(b+c)$ - commutatif :
$a+b=b+a$ - neutre :
$a+0=a$ - existence opposé :
$a+(-a)=0$
- associatif :
-
$\cdot$ - associatif :
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ - identité :
$a\cdot 1=a$
- associatif :
- distributif :
$a\cdot(b+c)=a\cdot b +a\cdot c$ - propriétés
$a+b=a+c\implies b=c$ $0\cdot a=0$ $(-1)\cdot a=-a$
-
-
sous-anneau :
$S\subset R$ - identité :
$1_R\in S$ - inverse :
$a\in S\implies -a\in S$ - fermé
$+$ :$a,b\in S\implies a+b\in S$ - fermé
$\cdot$ :$a,b\in S\implies a\cdot b\in S$
- identité :
-
anneau commutatif :
$a\cdot b=b\cdot a$ -
anneau intègre : ssi
$a\cdot b=b\cdot a=0$ implique$a=0$ ou$b=0$ -
diviseur de zéro : ssi
$\exists a\not =0\not =b$ tel que$a\cdot b=0$ -
unités d'un anneau :
$a$ est une unité si$a\cdot b=b\cdot a=1$ ($b$ unique)- ensemble des unités :
$R^*$
- ensemble des unités :
-
anneau
$\ZmZ$ $m|a\implies [a]_m=[0]_m$ -
$(m,a)=1\implies [a]_m$ unité -
$1<(a,m)<m\implies [a]_m$ diviseur de zéro
-
application :
$f:A\to B$ - injective si
$f(a)=f(a')\implies a=a'$ : au plus une pré-image - surjective si
$\exists a\tq f(a)=b$ : au moins une pré-image - bijective si injective et surjective
- injective si
-
homomorphisme d'anneaux :
$f:R\to S$ avec$R,S$ anneaux$f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $f(1_R)=1_S$ - propriétés
$f(0)=0$ $f(-a)=-f(a)$ -
$a$ unité$\implies f(a)$ unité ($f(a)^{-1}=f(a^{-1})$)
- isomorphe (
$R\cong S$ ) si homorphisme bijectif - noyau :
$\Ker(f)=f^{-1}(0)={r\in R\mid f( r)=0}$ (pas sous-anneau mais idéal) - injectif ssi
$\Ker(f)={0}$ ($f({0})=0$ ) - existe un seul homomorphisme de
$\Z$ dans$R$ quelconque :$f(n)=n\cdot 1_R$
-
idéal :
$I\subset R$ commutatif- fermé
$+$ :$a+a'\in I$ - stable
$\cdot$ :$ra\in I$ pour$r\in R$ - triviaux :
$I={0}$ et$I=R$ ($1\in I\implies I=R$ ) $( r)=rR={rx\mid x\in R}$ - principal :
$\exists r\in R\tq ( r)=I\not = R$ (seul unique élément) -
$m\Z\subset d\Z$ ssi$d|m$
- fermé
-
anneau principal : tous les idéaux principaux
- tous les anneaux possédant division euclidienne :
$\Z$
- tous les anneaux possédant division euclidienne :
-
caractéristique : plus petit entier positif
$m$ tel que$m\cdot 1_R=0$ (si pas = injectif, caractéristique nulle)- caractéristique anneau intègre ou corps :
$0$ ou$p$
- caractéristique anneau intègre ou corps :
-
corps : anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont unités
-
$\Z/p\Z$ est noté$\F_p$ ($p$ premier), corps à$p$ éléments - corps ssi
$R$ possède que les idéaux triviaux - tout homomorphisme de
$R$ corps est injectif
-
-
factorisation homomorphisme : soit
$f:\Z\to R$ et$m\Z\in\Ker(f)$ alors cela induit$\bar f:\ZmZ\to R$ avec$[a]_m\mapsto f(a)$ - si
$m\Z=\ker(f)$ alors$\bar f$ injectif $f=\bar f\circ\pi_m$ - réciproque
-
$g:\ZmZ\to\Z/d\Z$ ssi$d|m$
- si
-
ordre d'un entier
$\mod m$ : plus petit entier positif$n$ tel que$a^n\equiv 1\mod m$ avec$(a,m)=1$ -
théorème d'Euler :
$a^{\varphi(m)}\equiv 1\mod m$ avec$(a,m)=1$ - inverse de
$[a]_m$ :$[a]_m^{\varphi(m)-1}$
- inverse de
-
petit théorème de Fermat :
$a^{p-1}\equiv 1\mod p$ avec$p$ premier ne divisant pas$a$
-
groupe :
$(G,*,e)$ avec ensemble, une loi interne et un élément distingé-
$G\times G\to G$ avec$(g,h)\mapsto g*h$ - associatif : $(gh)k=g(hk)$
- neutre :
$g*e=g$ - existence inverse :
$g*g^{-1}=e$
-
- groupe commutatif (abélien) : $gh=hg$
-
ordre d'un groupe :
$|G|=#G$ nombre fini d'éléments -
ordre d'un élément : plus petit entier positif non nul
$n$ tel que$g^n=g*\cdots *g=e$ (si pas, ordre infini)-
$g$ même ordre que$g^{-1}$
-
-
sous-groupe : sous-ensemble non vide
$H$ de$G$ - fermé $$ : $gh\in H$
- inverse :
$h^-1\in H$ - propriétés
$e\in H$
-
sous-groupe engendré par
$g$ :$={g^n\mid n\in\Z}$ -
groupe cyclique :
$=G$ avec élément$g$ générateur du groupe, forcément abélien-
$\ZmZ\times\Z/n\Z$ cyclique ssi$(m,n)=1$ - si fini : ordre générateur = ordre groupe
-
$G\cong\Z/n\Z$ avec$g^k\mapsto [k]_n$ - groupe cyclique d'ordre
$n$ :$C_n$ - tout groupe d'ordre premier est cyclique
- sous-groupe aussi cyclique
-
$(g^k)^a=e_G$ ssi$a$ multiple de$d$ sachant$G=$ cyclique d'ordre$n$ et$n=kd$ - existe sous-groupe de
$G$ d'ordre$d$ sachant$G$ cyclique d'ordre$n$ et$d|n$ -
$G$ a exactement$\varphi(n)$ générateurs sachat$G$ cyclique d'ordre$n$
-
-
théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe
$H$ divise l'ordre du groupe fini$G$ $g^{|G|}=e$ - élément d'ordre
$d$ : sachant$g^n=e$ ,$d|n$
-
homomorphisme de groupes :
$f:G\to H$ $f(g*g')=f(g)\circ f(g')$ $f(e_G)=e_H$ - propriétés
$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$
- isomorphe (
$G\cong H$ ) si homorphisme bijectif -
$f:\ZmZ\to\Z/d\Z$ d'anneaux se restreint aux unités : $\bar f : (\ZmZ)^\to(\Z/d\Z)^$ - noyau :
$\Ker(f)={g\in G\mid f(g)=e_H}$ - injectif ssi
$\Ker(f)={e_G}$ - image :
$\Im(f)={h\in H\mid \exists g\in G\text{ avec } f(g)=h}$
-
théorèmes de structure des groupes abéliens d'ordre
$n$ finis : tous produit de groupes cycliques-
$G\cong C_{d_1}\times\cdots\times C_{d_r}$ où$d_1|\cdots|d_r\in\N$ -
$G\cong C_{p_1^{k_1}}\times\cdots\times C_{p_r^{k_r}}$ où$n=p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$ premiers
-
-
théorème des restes chinois I
-
$m_1,\ldots,m_r$ des entiers premiers deux à deux - $ \begin{align}x&\equiv a_1\mod m_1\ &\vdots\ x&\equiv a_r\mod m_r\end{align}$
-
- avec comme solution
$x$ et$x'$ où$x\equiv x'\mod M$ et$M=m_1\cdots m_r$ -
théorème des restes chinois II
-
$m_1,\ldots,m_r$ des entiers premiers deux à deux $M=m_1\cdots m_r$ -
$f:\Z/M\Z\to\Z/m_1\Z\times\cdots\times\Z/m_r\Z$ avec $[a]M\mapsto ([a]{m_1},\ldots,[a]_{m_r})$ - cette homorphisme d'anneaux est un isomorphisme
-
-
1ère méthode
- $$\begin{align}x_i&\equiv 0\mod m_1\ &\vdots\ x_i&\equiv 1\mod m_i\ &\vdots\ x_i&\equiv 0\mod m_r \end{align}$$
$k_i=m_1\cdots m_{i-1}m_{i+1}\cdots m_r$ -
$1=rk_i+sm_i$ avec$rk_i=x_i$ $x=a_1x_1+\cdots+a_rx_r$
-
2ème méthode
- $\begin{align} x&\equiv a_1\mod m_1\ x&\equiv a_2\mod m_2\ \end{align}$
- remplacer deux premières équatios par
$x\equiv b\mod m_1m_2$ - ainsi
$m_1u-m_2t=a_2-a_1$ via Bezout $x=m_1u+a_1=b$ - récursivement
- ainsi
-
anneau de polynôme :
$f(X)=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ avec$a_i\in R$ et$a_n\not =0$ - degré de
$f$ :$\deg(f)=n$ - ensemble des polynômes à coéficients dans
$R$ :$R[X]$ - polynôme constant :
$f(X)=r$ de degré nul - règle des degrés : si intègre
$\deg(fg)=deg(f)+deg(g)$ - au plus
$n$ racine - unitaire si
$a_n=1$ - associé si
$f(X)=a\cdot g(X)$ avec$a\in K*$ corps
- au plus
- unité :
$f(X)=r\in R^*$ - homomorphisme d'anneau :
$\phi: A[X]\to B[X]$ avec$\phi(f)(X)=\phi(a_n)X^n+\cdots+\phi(a_1)X+\phi(a_0)$
- degré de
-
division euclidienne :
$g(X)=f(X)q(X)+r(X)$ avec$f,g\in K[X]$ des corps et$\deg( r)<\deg(f)$ -
division :
$f$ divise$g$ si$g=fq$ - anneau
$K[X]$ principal -
PGCD :
$p$ si$p|f$ et$p|g$ avec$p$ de degré maximal- non unique, associé
- unique pgcd unitaire
$(f,g)=p$
-
identité de Bézout :
$p$ pgcd de$f$ et$g$ , alors$r\cdot f+s\cdot g=p$ -
polynôme irréductible :
$\deg(f)>0$ et$f=g\cdot h$ implique que$g,h\in K^*$ (attention au corps)- pour degré
$2$ et$3$ : irrdécutible ssi aucune racine dasn$K$ - analogue aux nombres premiers dans
$\Z$
- pour degré
-
décomposition en produit d'irréductibles :
$f=a\cdot p_1\cdots p_r$ avec$a\in K^*$ unité et$p_1,\ldots p_r$ des polynômes irréductibles (unique) -
congruences modulo un polynôme :
$f\equiv g\mod m$ $[f]_m+[g]_m=[f+g]_m$ $[f]_m\cdot [g]_m=[fg]_m$
-
classe
$\mod m$ :$\xi$ $\R[X]/(X^2+1)\cong\C$
-
classe de congruence :
$K[X]/(m)=K[\xi]$ -
corps : ssi
$m(X)$ irréductible dans$K[X]/(m)$ -
homomorphisme de corps : deux corps dans
$\phi:F[X]\to L$ avec l'idéal$f$ inclus dans$\Ker(\phi)$ $\bar\phi:F[X]/(f)\to L$ (si$f$ irréductible, injectif) -
théorème des restes chinois
-
$K[X]/(f\cdots g)\cong K[X]/(f)\times\cdots\times K[X]/(g)$ avec$f,\ldots,g$ polynômes premiers deux à deux - $\begin{align}F&\equiv g_1\mod f_1\ &\vdots\ F&\equiv g_n\mod f_n\end{align}$
-
-
corps finis :
$\F_p[X]/(f)$ a$p^n=p^{\deg(f)}$ éléments avec$f$ irréductible- corps fini à
$p$ élément :$K\cong \F_p\cong \Z/p\Z$ - sous-corps à
$p$ éléments : si corps de caractéristique$p$ -
$L$ -espace vectoriel :$L$ corps et$K$ sous-corps, même addition et multiplication que le corps - caractéristique
$p$ :$K$ possède$p^n$ élément
- corps fini à
-
racine multiple :
$f=(X-\alpha)^ng$ ssi$f'(\alpha)=0$ (le plus grand$n$ s'appelle la multiplicité de$\alpha$ ) -
dérivée :
$f'(X)=na_nX^{n-1}+\cdots+2a_2X+a_1$ (attention au corps) -
existence corps à
$p^n$ : pour tout$p$ premier et$n$ entier -
ordre maximal d'un élément de groupe abélien :
$x^m=1$ pour tout$m$ -
sous groupe
$G$ de corps$K^*$ :$G$ cyclique (corps fini,$K^*$ groupe cyclique) -
polynôme minimal : polynôme minial qui annule
$f(\alpha)=0$ , diviseur de$f$ -
plus petit sous-corps contenant
$\alpha$ :$K(\alpha)={\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\mid f,g\in K[X], g(\alpha)\not =0}$ -
existence polynôme irréductible de degré
$n$ :$f\in\F_p[X]$ dans$\Q$ $n|m\implies f|X^{p^m}-X$
-
$\C$ algébriquement clos : seul polynôme de degrée$1$ sont irréductibles (dans$\R$ , de degré$1$ ou$2$ ) -
corps à
$p^n$ éléments unique à isomorphisme près :$\F_q$ avec$q=p^n$ de caractéristique$p$ -
isomorphismes de Frobenius :
$K\to K$ avec$x\mapsto x^p$ (si fini)- automorphisme :
$\phi^{\circ n}=\phi\circ\cdot\circ\phi=\text{Id.}$ pour$q=p^n$
- automorphisme :
- anneaux
-
$(\Z,+,\cdot,0,1)$ ,$\Q$ ,$\R$ ,$\C$ , intégre -
$\ZmZ$ , corps si$m$ premier -
$M_{nn}(\R)$ : ensemble des matrices carrées sur$\R$ , non commutatif -
$R[X]$ : ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau$R$ , constante$c$ est unité, idéal sans terme constant -
$(\text{End(V)},+,\circ,0,id_V)$ : ensemble des applications linéaires avec$V$ un$\R$ -espace vectoriel (si fini peut être identifié à$M_{nn}(\R)$ moyennant une base)
-
- homomorphisme d'anneaux
-
$\pi_m:\Z\to\ZmZ$ avec$a\mapsto [a]_m$ -
$f:\Q[X]\to Q$ avec$p(X)\mapsto p(0)$ - sous-anneau vers anneau
-
- groupe
$(\Z, +, 0)$ -
$(R,+,0)$ et$(R^*,\cdot,1)$ si$R$ anneau -
$GL_n(\R)$ : matrices carrés avec produit matriciel et matrice identité, non commutatif