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给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]
《代码随想录》算法视频公开课：回溯算法解决子集问题，树上节点都是目标集和！ | LeetCode：78.子集，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
如果把 子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！
其实子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和 子集{2,1}是一样的。
那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！
有同学问了，什么时候for可以从0开始呢？
求排列问题的时候，就要从0开始，因为集合是有序的，{1, 2} 和{2, 1}是两个集合，排列问题我们后续的文章就会讲到的。
以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：
从图中红线部分，可以看出遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合。
- 递归函数参数
全局变量数组path为子集收集元素，二维数组result存放子集组合。（也可以放到递归函数参数里）
递归函数参数在上面讲到了，需要startIndex。
代码如下：
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {递归终止条件
从图中可以看出：
剩余集合为空的时候，就是叶子节点。
那么什么时候剩余集合为空呢？
就是startIndex已经大于数组的长度了，就终止了，因为没有元素可取了，代码如下:
if (startIndex >= nums.size()) {
return;
}其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了。
- 单层搜索逻辑
求取子集问题，不需要任何剪枝！因为子集就是要遍历整棵树。
那么单层递归逻辑代码如下：
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
path.push_back(nums[i]); // 子集收集元素
backtracking(nums, i + 1); // 注意从i+1开始，元素不重复取
path.pop_back(); // 回溯
}
根据关于回溯算法，你该了解这些！给出的回溯算法模板：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
可以写出如下回溯算法C++代码：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己
if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
return;
}
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1);
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
result.clear();
path.clear();
backtracking(nums, 0);
return result;
}
};
- 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
在注释中，可以发现可以不写终止条件，因为本来我们就要遍历整棵树。
有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？
并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。
相信大家经过了
- 组合问题：
- 分割问题：
洗礼之后，发现子集问题还真的有点简单了，其实这就是一道标准的模板题。
但是要清楚子集问题和组合问题、分割问题的的区别，子集是收集树形结构中树的所有节点的结果。
而组合问题、分割问题是收集树形结构中叶子节点的结果。
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
subsetsHelper(nums, 0);
return result;
}
private void subsetsHelper(int[] nums, int startIndex){
result.add(new ArrayList<>(path));//「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。
if (startIndex >= nums.length){ //终止条件可不加
return;
}
for (int i = startIndex; i < nums.length; i++){
path.add(nums[i]);
subsetsHelper(nums, i + 1);
path.removeLast();
}
}
}class Solution:
def subsets(self, nums):
result = []
path = []
self.backtracking(nums, 0, path, result)
return result
def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
result.append(path[:]) # 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己
# if startIndex >= len(nums): # 终止条件可以不加
# return
for i in range(startIndex, len(nums)):
path.append(nums[i])
self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
path.pop()var (
path []int
res [][]int
)
func subsets(nums []int) [][]int {
res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(nums))
dfs(nums, 0)
return res
}
func dfs(nums []int, start int) {
tmp := make([]int, len(path))
copy(tmp, path)
res = append(res, tmp)
for i := start; i < len(nums); i++ {
path = append(path, nums[i])
dfs(nums, i+1)
path = path[:len(path)-1]
}
}var subsets = function(nums) {
let result = []
let path = []
function backtracking(startIndex) {
result.push([...path])
for(let i = startIndex; i < nums.length; i++) {
path.push(nums[i])
backtracking(i + 1)
path.pop()
}
}
backtracking(0)
return result
};function subsets(nums: number[]): number[][] {
const resArr: number[][] = [];
backTracking(nums, 0, []);
return resArr;
function backTracking(nums: number[], startIndex: number, route: number[]): void {
resArr.push([...route]);
let length = nums.length;
if (startIndex === length) return;
for (let i = startIndex; i < length; i++) {
route.push(nums[i]);
backTracking(nums, i + 1, route);
route.pop();
}
}
};思路一：使用本题的标准解法，递归回溯。
impl Solution {
fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, nums: &Vec<i32>, start_index: usize) {
result.push(path.clone());
let len = nums.len();
// if start_index >= len { return; }
for i in start_index..len {
path.push(nums[i]);
Self::backtracking(result, path, nums, i + 1);
path.pop();
}
}
pub fn subsets(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
Self::backtracking(&mut result, &mut path, &nums, 0);
result
}
}思路二：使用二进制枚举，n个元素的子集问题一共是$2^n$种情况。如果我们使用一个二进制数字，每一位根据0和1来决定是选取该元素与否，那么一共也是$2^n$的情况，正好可以一一对应，所以我们可以不使用递归，直接利用循环枚举完成子集问题。 这种方法的优点在于效率高，不需要递归调用，并且代码容易编写。缺点则是过滤某些非法情况时会比递归方法难写一点，不过在子集问题中不存在这个问题。
impl Solution {
pub fn subsets(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
let n = nums.len();
// 预分配2^n空间
let mut result = Vec::with_capacity(1 << n);
// 二进制枚举，2^n种情况
for i in 0..(1 << n) {
let mut subset = Vec::new();
for j in 0..n {
// 枚举该二进制数字的每一位
// 如果该位是1，对应位置上的元素加入子集，否则跳过
if i & (1 << j) != 0 {
subset.push(nums[j]);
}
}
result.push(subset);
}
result
}
}int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
//记录二维数组中每个一维数组的长度
int* length;
//将当前path数组复制到ans中
void copy() {
int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
int i;
for(i = 0; i < pathTop; i++) {
tempPath[i] = path[i];
}
ans = (int**)realloc(ans, sizeof(int*) * (ansTop+1));
length[ansTop] = pathTop;
ans[ansTop++] = tempPath;
}
void backTracking(int* nums, int numsSize, int startIndex) {
//收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己
copy();
//若startIndex大于数组大小，返回
if(startIndex >= numsSize) {
return;
}
int j;
for(j = startIndex; j < numsSize; j++) {
//将当前下标数字放入path中
path[pathTop++] = nums[j];
backTracking(nums, numsSize, j+1);
//回溯
pathTop--;
}
}
int** subsets(int* nums, int numsSize, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//初始化辅助变量
path = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
ans = (int**)malloc(0);
length = (int*)malloc(sizeof(int) * 1500);
ansTop = pathTop = 0;
//进入回溯
backTracking(nums, numsSize, 0);
//设置二维数组中元素个数
*returnSize = ansTop;
//设置二维数组中每个一维数组的长度
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
int i;
for(i = 0; i < ansTop; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = length[i];
}
return ans;
}func subsets(_ nums: [Int]) -> [[Int]] {
var result = [[Int]]()
var path = [Int]()
func backtracking(startIndex: Int) {
// 直接收集结果
result.append(path)
let end = nums.count
guard startIndex < end else { return } // 终止条件
for i in startIndex ..< end {
path.append(nums[i]) // 处理：收集元素
backtracking(startIndex: i + 1) // 元素不重复访问
path.removeLast() // 回溯
}
}
backtracking(startIndex: 0)
return result
}思路一: 使用本题解思路
object Solution {
import scala.collection.mutable
def subsets(nums: Array[Int]): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
var path = mutable.ListBuffer[Int]()
def backtracking(startIndex: Int): Unit = {
result.append(path.toList) // 存放结果
if (startIndex >= nums.size) {
return
}
for (i <- startIndex until nums.size) {
path.append(nums(i)) // 添加元素
backtracking(i + 1)
path.remove(path.size - 1) // 删除
}
}
backtracking(0)
result.toList
}
}思路二: 将原问题转换为二叉树，针对每一个元素都有选或不选两种选择，直到遍历到最后，所有的叶子节点即为本题的答案：
object Solution {
import scala.collection.mutable
def subsets(nums: Array[Int]): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
def backtracking(path: mutable.ListBuffer[Int], startIndex: Int): Unit = {
if (startIndex == nums.length) {
result.append(path.toList)
return
}
path.append(nums(startIndex))
backtracking(path, startIndex + 1) // 选择元素
path.remove(path.size - 1)
backtracking(path, startIndex + 1) // 不选择元素
}
backtracking(mutable.ListBuffer[Int](), 0)
result.toList
}
}public class Solution {
public IList<IList<int>> res = new List<IList<int>>();
public IList<int> path = new List<int>();
public IList<IList<int>> Subsets(int[] nums) {
BackTracking(nums, 0);
return res;
}
public void BackTracking(int[] nums, int start){
res.Add(new List<int>(path));
if(start > nums.Length) return;
for (int i = start; i < nums.Length; i++)
{
path.Add(nums[i]);
BackTracking(nums, i + 1);
path.RemoveAt(path.Count - 1);
}
}
}
