-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathchap-anova.html
1300 lines (1259 loc) · 121 KB
/
chap-anova.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<!DOCTYPE html>
<html lang="" xml:lang="">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
<title>Hoofdstuk 7 Variantie analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</title>
<meta name="description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="generator" content="bookdown 0.29.1 and GitBook 2.6.7" />
<meta property="og:title" content="Hoofdstuk 7 Variantie analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta property="og:type" content="book" />
<meta property="og:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="github-repo" content="statOmics/statistiek2deBach" />
<meta name="twitter:card" content="summary" />
<meta name="twitter:title" content="Hoofdstuk 7 Variantie analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta name="twitter:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="author" content="Lieven Clement" />
<meta name="date" content="2022-09-20" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes" />
<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black" />
<link rel="prev" href="chap-linReg.html"/>
<link rel="next" href="niet-parametrische-statistiek.html"/>
<script src="libs/jquery-3.6.0/jquery-3.6.0.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/fuse.js@6.4.6/dist/fuse.min.js"></script>
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/style.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-table.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-bookdown.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-highlight.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-search.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-fontsettings.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-clipboard.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections-hash.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.js"></script>
<script src="libs/kePrint-0.0.1/kePrint.js"></script>
<link href="libs/lightable-0.0.1/lightable.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.min.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.js"></script>
<style type="text/css">
pre > code.sourceCode { white-space: pre; position: relative; }
pre > code.sourceCode > span { display: inline-block; line-height: 1.25; }
pre > code.sourceCode > span:empty { height: 1.2em; }
.sourceCode { overflow: visible; }
code.sourceCode > span { color: inherit; text-decoration: inherit; }
pre.sourceCode { margin: 0; }
@media screen {
div.sourceCode { overflow: auto; }
}
@media print {
pre > code.sourceCode { white-space: pre-wrap; }
pre > code.sourceCode > span { text-indent: -5em; padding-left: 5em; }
}
pre.numberSource code
{ counter-reset: source-line 0; }
pre.numberSource code > span
{ position: relative; left: -4em; counter-increment: source-line; }
pre.numberSource code > span > a:first-child::before
{ content: counter(source-line);
position: relative; left: -1em; text-align: right; vertical-align: baseline;
border: none; display: inline-block;
-webkit-touch-callout: none; -webkit-user-select: none;
-khtml-user-select: none; -moz-user-select: none;
-ms-user-select: none; user-select: none;
padding: 0 4px; width: 4em;
color: #aaaaaa;
}
pre.numberSource { margin-left: 3em; border-left: 1px solid #aaaaaa; padding-left: 4px; }
div.sourceCode
{ }
@media screen {
pre > code.sourceCode > span > a:first-child::before { text-decoration: underline; }
}
code span.al { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Alert */
code span.an { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Annotation */
code span.at { color: #7d9029; } /* Attribute */
code span.bn { color: #40a070; } /* BaseN */
code span.bu { } /* BuiltIn */
code span.cf { color: #007020; font-weight: bold; } /* ControlFlow */
code span.ch { color: #4070a0; } /* Char */
code span.cn { color: #880000; } /* Constant */
code span.co { color: #60a0b0; font-style: italic; } /* Comment */
code span.cv { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* CommentVar */
code span.do { color: #ba2121; font-style: italic; } /* Documentation */
code span.dt { color: #902000; } /* DataType */
code span.dv { color: #40a070; } /* DecVal */
code span.er { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Error */
code span.ex { } /* Extension */
code span.fl { color: #40a070; } /* Float */
code span.fu { color: #06287e; } /* Function */
code span.im { } /* Import */
code span.in { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Information */
code span.kw { color: #007020; font-weight: bold; } /* Keyword */
code span.op { color: #666666; } /* Operator */
code span.ot { color: #007020; } /* Other */
code span.pp { color: #bc7a00; } /* Preprocessor */
code span.sc { color: #4070a0; } /* SpecialChar */
code span.ss { color: #bb6688; } /* SpecialString */
code span.st { color: #4070a0; } /* String */
code span.va { color: #19177c; } /* Variable */
code span.vs { color: #4070a0; } /* VerbatimString */
code span.wa { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Warning */
</style>
<style type="text/css">
/* Used with Pandoc 2.11+ new --citeproc when CSL is used */
div.csl-bib-body { }
div.csl-entry {
clear: both;
}
.hanging div.csl-entry {
margin-left:2em;
text-indent:-2em;
}
div.csl-left-margin {
min-width:2em;
float:left;
}
div.csl-right-inline {
margin-left:2em;
padding-left:1em;
}
div.csl-indent {
margin-left: 2em;
}
</style>
<link rel="stylesheet" href="style.css" type="text/css" />
</head>
<body>
<div class="book without-animation with-summary font-size-2 font-family-1" data-basepath=".">
<div class="book-summary">
<nav role="navigation">
<ul class="summary">
<li><a href="./">Cursus Inleiding tot Biostatistiek 2022-2023</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Woord vooraf</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="links.html"><a href="links.html"><i class="fa fa-check"></i>Links</a></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#sec:wetMeth"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> De Wetenschappelijke Methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#opzet-van-de-cursus"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Opzet van de cursus</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-oksel-microbiome"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Case study: oksel microbiome</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.3.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experimenteel-design-proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.1</b> Experimenteel design (proefopzet)</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#data-exploratie-en-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.2</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#statistische-besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.3</b> Statistische Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-ii-verschil-in-lengte-tussen-vrouwen-en-mannen"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Case Study II: Verschil in lengte tussen vrouwen en mannen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.4.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.1</b> Experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.2</b> Herhaal het experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment-opnieuw"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.3</b> Herhaal het experiment opnieuw</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#samenvatting"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.4</b> Samenvatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#controle-van-beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.5</b> Controle van beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#conclusies"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.6</b> Conclusies</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-salk-vaccin"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Case study: Salk vaccin</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.5.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#nfip-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.1</b> NFIP Study</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#confounding"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.2</b> Confounding</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#salk-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.3</b> Salk Study</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#rol-van-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Rol van Statistiek</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Belangrijke concepten & conventies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#inleiding-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:pop"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> Populatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#toevalsveranderlijken-of-toevallige-veranderlijken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> Toevalsveranderlijken (of toevallige veranderlijken)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#beschrijven-van-de-populatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Beschrijven van de populatie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.5.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#intermezzo-probabiliteitstheorie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.1</b> Intermezzo probabiliteitstheorie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#standardisatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.2</b> Standardisatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:normalcalc"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.3</b> Achtergrond Normale verdeling</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#steekproef"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> Steekproef</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-gender"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> NHANES: Gender</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-lengte"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> NHANES: Lengte</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.8.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#empirische-distributie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.1</b> Empirische distributie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#normale-benadering"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.2</b> Normale benadering</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#referentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.3</b> Referentie intervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conclusions"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.4</b> Conclusions</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#statistieken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Statistieken</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conventie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Conventie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#code-voor-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> Code voor dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Studiedesign</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#inleiding-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:steekproefdesigns"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> Steekproefdesigns</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.2.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#replicatie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2.1</b> Replicatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#experimentele-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> Experimentele studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#de-salk-vaccin-veldstudie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.1</b> De Salk Vaccin Veldstudie</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#gerandomiseerde-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.2</b> Gerandomiseerde gecontroleerde studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#parallelle-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.3</b> Parallelle designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-over-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.4</b> Cross-over designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#factoriële-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.5</b> Factoriële designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#quasi-experimentele-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.6</b> Quasi-experimentele designs</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:observational"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Observationele studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:prosp"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Prospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:retro"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#niet-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Niet-gecontroleerde studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.7.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:prepost"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.1</b> Pre-test/Post-test studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-sectionele-surveys"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.2</b> Cross-sectionele surveys</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#inleiding-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:univar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Univariate beschrijving van de variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:summarize"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Samenvattingsmaten voor continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.3.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#maten-voor-de-centrale-ligging"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.1</b> Maten voor de centrale ligging</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:spreiding"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.2</b> Spreidingsmaten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:normal"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> De Normale benadering van gegevens</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:qq"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4.1</b> QQ-plots</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:explCatVar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Samenvattingsmaten voor categorische variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.5.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#prospectieve-studies-en-lukrake-steekproeven"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.1</b> Prospectieve studies en lukrake steekproeven</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:retrospect"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.2</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#rates-versus-risicos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.3</b> Rates versus risico’s</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#associaties-tussen-twee-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> Associaties tussen twee variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.6.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:kruistabel"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.1</b> Associatie tussen twee kwalitatieve variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:asskwalcont"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.2</b> Associatie tussen één kwalitatieve en één continue variabele</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Associatie tussen twee continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.7.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#covariantie-en-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.1</b> Covariantie en Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#pearson-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.2</b> Pearson Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#verschillende-groottes-van-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.3</b> Verschillende groottes van correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#spearman-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.4</b> Spearman correlatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:missing"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Onvolledige gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#clips-over-de-code-in-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Clips over de code in dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Statistische besluitvorming</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#inleiding-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> Captopril voorbeeld</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.2.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.1</b> Proefopzet</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#data-exploratie-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.2</b> Data Exploratie & Beschrijvende Statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#schatten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.3</b> Schatten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#puntschatters-het-steekproefgemiddelde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Puntschatters: het steekproefgemiddelde</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.3.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#overzicht"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.1</b> Overzicht</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#het-steekproefgemiddelde-is-onvertekend"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.2</b> Het steekproefgemiddelde is onvertekend</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#imprecisiestandard-error"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.3</b> Imprecisie/standard error</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:verdelingXbar"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.4</b> Verdeling van het steekproefgemiddelde</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#intervalschatters"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Intervalschatters</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.4.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:bigek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.1</b> Gekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#sec:tBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.2</b> Ongekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:interpretBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.3</b> Interpretatie van betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.4</b> Wat rapporteren?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#principe-van-hypothesetoetsen-via-one-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Principe van Hypothesetoetsen (via one sample t-test)</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#introductie-d.m.v.-captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.1</b> Introductie d.m.v. captopril voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#hypotheses"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.2</b> Hypotheses</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#test-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.3</b> Test-statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#de-p-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.4</b> De p-waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#kritieke-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.5</b> Kritieke waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.6</b> Beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#conclusies-captopril-voorbeeld."><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.7</b> Conclusies Captopril voorbeeld.</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#eenzijdig-of-tweezijdig-toetsen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.8</b> Eenzijdig of tweezijdig toetsen?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#geclusterde-metingen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Geclusterde metingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.6.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6.1</b> Captopril</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#two-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Two-sample t-test</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.7.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#notatie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.1</b> Notatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#oksel-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.2</b> Oksel-voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#aannames"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Aannames</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.8.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-de-veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.1</b> Nagaan van de veronderstelling van Normaliteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.2</b> Nagaan van homoscedasticiteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.9" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren-1"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9</b> Wat rapporteren?</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.9.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-1-relatie-toetsen-en-betrouwbaarheidsintervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.1</b> Reden 1: Relatie toetsen en betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.9.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-2-statistische-significantie-versus-wetenschappelijke-relevantie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.2</b> Reden 2: Statistische significantie versus wetenschappelijke relevantie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.10" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#equivalentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.10</b> Equivalentie-intervallen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Enkelvoudige lineaire regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#inleiding-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#borstkanker-dataset"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.1</b> Borstkanker dataset</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#data-exploratie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.2</b> Data exploratie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#model"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.3</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineaire-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Lineaire regressie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#parameterschatting"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> Parameterschatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linBesluit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Statistische besluitvorming</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nagaan-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.5.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-homoscedasticiteit-gelijkheid-van-variantie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.2</b> Veronderstelling van homoscedasticiteit (gelijkheid van variantie)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.3</b> Veronderstelling van normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#afwijkingen-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> Afwijkingen van Modelveronderstellingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#besluitvorming-over-gemiddelde-uitkomst"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> Besluitvorming over gemiddelde uitkomst</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#predictie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Predictie-intervallen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.8.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nhanes-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linAnova"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Kwadratensommen en Anova-tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.9.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#determinatie-coëfficiënt"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.1</b> Determinatie-coëfficiënt</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#f-testen-in-het-enkelvoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.2</b> F-Testen in het enkelvoudig lineair regressiemodel</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#anova-tabel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.3</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linDummy"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Dummy variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Variantie analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#inleiding-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.1</b> Prostacycline voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.1.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.2</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#variantie-analyse"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Variantie-analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.2.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-2"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.1</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#kwadratensommen-en-anova"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.2</b> Kwadratensommen en Anova</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-test"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.3</b> Anova-test</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-tabel-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.4</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Post hoc analyse: Meervoudig Vergelijken van Gemiddelden</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.3.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#naïeve-methode"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.1</b> Naïeve methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#family-wise-error-rate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.2</b> Family-wise error rate</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#conclusies-prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Conclusies: Prostacycline Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> Niet-parametrische statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#inleiding-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-twee-groepen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> Vergelijken van twee groepen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.2.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.1</b> Cholestorol voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#permutatietesten"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.2</b> Permutatietesten</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#rank-testen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.3</b> Rank Testen</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.4" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#wilcoxon-mann-whitney-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.4</b> Wilcoxon-Mann-Whitney Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.5" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#conclusie-cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.5</b> Conclusie Cholestorol Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-g-behandelingen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Vergelijken van <span class="math inline">\(g\)</span> Behandelingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.3.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#dmh-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.1</b> DMH Voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#kruskal-wallis-rank-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.2</b> Kruskal-Wallis Rank Test</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Categorische data analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#inleiding-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toetsen-voor-een-proportie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Toetsen voor een proportie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.2.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.1</b> Asymptotisch Betrouwbaarheidsinterval</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotische-test"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.2</b> Asymptotische Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:binom"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.3</b> Binomiale test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#conclusie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.4</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Toets voor associatie tussen 2 kwalitatieve variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.3.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#gepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.1</b> Gepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:catOnPaired"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.2</b> Ongepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#de-pearson-chi-kwadraat-test-voor-ongepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.3</b> De Pearson Chi-kwadraat test voor ongepaarde gegevens</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#logistische-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Logistische regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.4.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#categorische-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.1</b> Categorische predictor</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#continue-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.2</b> Continue predictor</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Algemeen lineair model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inleiding-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:prostate"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1.1</b> Prostaatkanker dataset</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-additieve-meervoudig-lineaire-regressie-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Het additieve meervoudig lineaire regressie model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.2.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#statistisch-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2.1</b> Statistisch model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming-in-regressiemodellen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Besluitvorming in regressiemodellen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nagaan-van-modelveronderstellingen-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.4.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#lineariteit-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.2</b> Homoscedasticiteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.3</b> Normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-niet-additieve-meervoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Het niet-additieve meervoudig lineair regressiemodel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.5.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#interactie-tussen-continue-variabele-en-factor-variabele"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.1</b> Interactie tussen continue variabele en factor variabele</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:intCont"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.2</b> Interactie tussen twee continue variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#anova-tabel-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> ANOVA Tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.6.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sstot-ssr-en-sse"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.1</b> SSTot, SSR en SSE</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#extra-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.2</b> Extra Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-i-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.3</b> Type I Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-iii-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.4</b> Type III Kwadratensommen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#regressiediagnostieken"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Regressiediagnostieken</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.7.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#multicollineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.1</b> Multicollineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#invloedrijke-observaties"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.2</b> Invloedrijke observaties</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#cooks-distance"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.3</b> Cook’s distance</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#constrasten"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Constrasten</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.8.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nhanes-voorbeeld-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.2</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.3</b> Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#factoriële-proeven"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> Factoriële proeven</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.9.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#introductie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.1</b> Introductie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#data-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.2</b> Data</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-4"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.3</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inferentie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.4</b> Inferentie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#conclusie-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.5</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</a>
</h1>
</div>
<div class="page-wrapper" tabindex="-1" role="main">
<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="chap-anova" class="section level1 hasAnchor" number="7">
<h1><span class="header-section-number">Hoofdstuk 7</span> Variantie analyse<a href="chap-anova.html#chap-anova" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<p>Alle kennisclips die in dit hoofdstuk zijn verwerkt kan je in deze youtube playlist vinden:</p>
<ul>
<li><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLZH1hP8_LbJIBVGNQ61zxMgc2srezPpnB">Kennisclips Hoofdstuk 7 Variantie Analyse</a></li>
</ul>
<p>Link naar webpage/script die wordt gebruik in de kennisclips:</p>
<ul>
<li><a href="https://statomics.github.io/sbc/rmd/07-Anova.html">script Hoofdstuk 7</a></li>
</ul>
<div id="inleiding-6" class="section level2 hasAnchor" number="7.1">
<h2><span class="header-section-number">7.1</span> Inleiding<a href="chap-anova.html#inleiding-6" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/AQLPoGCm4RY" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<!---break-->
<div id="prostacycline-voorbeeld" class="section level3 hasAnchor" number="7.1.1">
<h3><span class="header-section-number">7.1.1</span> Prostacycline voorbeeld<a href="chap-anova.html#prostacycline-voorbeeld" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/5G9H7brVoA0" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Prostacycline is een lipide die een belangrijke rol speelt in vasodilatatie (bloedvatverwijding) en bloedstolling.
Het inhibeert de activatie van bloedplaatjes en vermijdt de vorming van bloedklonters.
Arachidonzuur speelt een belangrijke rol in de productieweg van prostacycline.
Onderzoekers willen daarom bestuderen of het toedienen van arachidonzuur een effect heeft op het prostacycline niveau in het bloedplasma.
Ze zetten hiervoor een proef op waarbij ze het effect van arachidonzuur zullen nagaan op het prostacycline niveau van ratten.
Arachidonzuur wordt hierbij toegediend in drie verschillende concentraties (verklarende variabele met drie behandelingen): laag (L, 10 eenheden), gemiddeld (M, 25 eenheden) en een hoge dosis (H, 50 eenheden).
Het prostacycline niveau in het bloedplasma wordt gemeten a.d.h.v. een gecalibreerde elisa fluorescentie meting (responsvariabele).<br />
Het experiment is een <em>volledige gerandomiseerd proefopzet</em>, <em>“completely randomized design” CRD</em>. In totaal worden 12 ratten (experimentele eenheden) at random toegekend aan elke behandelingsgroep.
De data is opgeslagen in een tekst bestand met naam <code>prostacyclin.txt</code> in de folder dataset.
Een boxplot en QQ-plots voor de data in elke groep worden weergegeven in Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostBox">7.1</a> en <a href="chap-anova.html#fig:prostBox2">7.2</a> respectievelijk.</p>
<div class="sourceCode" id="cb351"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb351-1"><a href="chap-anova.html#cb351-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>prostacyclin <span class="ot"><-</span> <span class="fu">read_tsv</span>(<span class="st">"https://raw.githubusercontent.com/statOmics/sbc/master/data/prostacyclin.txt"</span>)</span>
<span id="cb351-2"><a href="chap-anova.html#cb351-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb351-3"><a href="chap-anova.html#cb351-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#dosis wordt als continue covariaat ingelezen</span></span>
<span id="cb351-4"><a href="chap-anova.html#cb351-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#zet om naar een factor.</span></span>
<span id="cb351-5"><a href="chap-anova.html#cb351-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb351-6"><a href="chap-anova.html#cb351-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>prostacyclin <span class="ot"><-</span> prostacyclin <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb351-7"><a href="chap-anova.html#cb351-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">mutate</span>(<span class="at">dose =</span> <span class="fu">as.factor</span>(prostacyclin<span class="sc">$</span>dose))</span>
<span id="cb351-8"><a href="chap-anova.html#cb351-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">head</span>(prostacyclin)</span></code></pre></div>
<pre><code>## # A tibble: 6 × 2
## prostac dose
## <dbl> <fct>
## 1 19.2 10
## 2 10.8 10
## 3 33.6 10
## 4 11.9 10
## 5 15.9 10
## 6 33.3 10</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb353"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb353-1"><a href="chap-anova.html#cb353-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>prostacyclin <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb353-2"><a href="chap-anova.html#cb353-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x =</span> dose, <span class="at">y =</span> prostac, <span class="at">fill =</span> dose)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb353-3"><a href="chap-anova.html#cb353-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_boxplot</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb353-4"><a href="chap-anova.html#cb353-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_point</span>(<span class="at">position =</span> <span class="st">"jitter"</span>) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb353-5"><a href="chap-anova.html#cb353-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ylab</span>(<span class="st">"prostacyclin (ng/ml)"</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:prostBox"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/prostBox-1.png" alt="Data-exploratie van het prostacycline niveau bij 36 ratten die behandeld werden met drie verschillende arachidonzuurconcentraties (12 ratten per behandeling). Boxplots van prostacycline niveau in functie van de dosis." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 7.1: Data-exploratie van het prostacycline niveau bij 36 ratten die behandeld werden met drie verschillende arachidonzuurconcentraties (12 ratten per behandeling). Boxplots van prostacycline niveau in functie van de dosis.
</p>
</div>
<div class="sourceCode" id="cb354"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb354-1"><a href="chap-anova.html#cb354-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>prostacyclin <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb354-2"><a href="chap-anova.html#cb354-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">sample =</span> prostac)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb354-3"><a href="chap-anova.html#cb354-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb354-4"><a href="chap-anova.html#cb354-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq_line</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb354-5"><a href="chap-anova.html#cb354-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">facet_grid</span>(<span class="sc">~</span> dose)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:prostBox2"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/prostBox2-1.png" alt="Data-exploratie van het prostacycline niveau bij 36 ratten die behandeld werden met drie verschillende arachidonzuurconcentraties (12 ratten per behandeling). QQ-plot van prostacycline voor lage, matige en hoge dosisgroep." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 7.2: Data-exploratie van het prostacycline niveau bij 36 ratten die behandeld werden met drie verschillende arachidonzuurconcentraties (12 ratten per behandeling). QQ-plot van prostacycline voor lage, matige en hoge dosisgroep.
</p>
</div>
<p>Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostBox">7.1</a> geeft weer dat er een effect lijkt te zijn van de arachidonzuurdosis op de hoogte van het prostacycline niveau.
In het bijzonder de hoge dosis lijkt het prostacycline niveau in het bloedplasma te laten toenemen.</p>
<!---break-->
</div>
<div id="model-1" class="section level3 hasAnchor" number="7.1.2">
<h3><span class="header-section-number">7.1.2</span> Model<a href="chap-anova.html#model-1" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Gb2JaUOhRqk" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Op basis van de boxplots in Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostBox">7.1</a> zien we dat de variantie gelijk lijkt te zijn tussen de verschillende behandelingsgroepen.
Er is een indicatie dat het gemiddeld prostacycline niveau verschilt tussen de behandelingsgroepen.
In het bijzonder voor de hoge dosisgroep H (50 eenheden).
Er zijn geen grote verschillen in de interkwartiel range (box-groottes).
De QQ-plots in Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostBox2">7.2</a> tonen geen grote afwijkingen aan van Normaliteit.
De QQ-plot geeft een indicatie dat mogelijks een outlier voorkomt in groep L.
Deze wordt echter niet door de boxplots gesignaleerd.</p>
<p>We kunnen dus volgend statistisch model voorop stellen:</p>
<p><span class="math display">\[Y_i \vert \text{groep j} \sim N(\mu_j,\sigma^2),\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(j= \text{1, 2, 3}\)</span>, respectievelijk de lage, matige en hoge dosisgroep. Hierbij veronderstellen we dus dat de data Normaal verdeeld zijn met een gelijke variantie binnen elk van de <span class="math inline">\(g=3\)</span> groepen, <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>, maar met een verschillend groepsgemiddelde <span class="math inline">\(\mu_j\)</span>.</p>
<p>De onderzoeksvraag kan nu vertaald worden in termen van het model.
De onderzoekers wensen aan te tonen dat het arachidonzuur niveau een effect heeft op de gemiddelde prostacycline concentratie in het bloed.</p>
<p>Dat vertaalt zich in volgende nulhypothese, de arachidonzuurconcentratie heeft geen effect op het gemiddelde prostacycline niveau bij ratten,</p>
<p><span class="math display">\[H_0:\mu_1=\mu_2 = \mu_3\]</span></p>
<p>en de alternatieve hypothese dat er een effect is van de arachidonzuurconcentratie op het gemiddelde prostacycline niveau bij ratten. Dat betekent dat minstens twee gemiddelden verschillend zijn</p>
<p><span class="math display">\[H_1: \exists\ j,k \in \{1,\ldots,g\} : \mu_j\neq\mu_k.\]</span></p>
<p>Of letterlijk: er bestaat minstens één koppel behandelingsgroepen (j en k) waarvoor het gemiddelde prostacycline niveau <span class="math inline">\(\mu_j\)</span> verschillend is van dat in groep <span class="math inline">\(k\)</span>, <span class="math inline">\(\mu_k\)</span>.</p>
<p>Een naïeve benadering zou zijn om de nulhypothese op splitsen in partiële hypothesen</p>
<p><span class="math display">\[H_{0jk}: \mu_j=\mu_k \text{ versus } H_{1jk}: \mu_j \neq \mu_k\]</span></p>
<p>Waarbij de gemiddelden tussen de groepen twee aan twee worden vergeleken.
Met deze procedure zouden we elk van deze partiële hypothesen kunnen testen met een two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test.
Dat zou echter leiden tot een probleem van meervoudig toetsen en een verlies aan power (zie verder).
Voor dit voorbeeld zouden we met deze aanpak immers 3 t-testen moeten uitvoeren om de onderzoeksvraag te evalueren.</p>
<p>In dit hoofdstuk zullen we methoden introduceren om <span class="math inline">\(H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3\)</span> vs <span class="math inline">\(H_1: \exists j,k \in \{1,\ldots,g\} : \mu_j\neq\mu_k\)</span> te testen met <strong>één enkele test</strong>.
De correcte oplossing voor het testprobleem waarbij we een continue response meten en wensen te detecteren of er een verschil is in gemiddelde response tussen meerdere groepen wordt een <strong>variantie-analyse of ANOVA</strong> (ANalysis Of VAriance) genoemd.</p>
</div>
</div>
<div id="variantie-analyse" class="section level2 hasAnchor" number="7.2">
<h2><span class="header-section-number">7.2</span> Variantie-analyse<a href="chap-anova.html#variantie-analyse" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/LEdZZYT41_Y" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>We leiden de methode af voor de meest eenvoudige uitbreiding met 3 groepen (prostacycline voorbeeld), maar de veralgemening naar g groepen met <span class="math inline">\(g>3\)</span> is triviaal.</p>
<div id="model-2" class="section level3 hasAnchor" number="7.2.1">
<h3><span class="header-section-number">7.2.1</span> Model<a href="chap-anova.html#model-2" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Zoals bij de t-test kunnen we het probleem ook modelleren a.d.h.v een lineair model door gebruik te maken van dummy variabelen (Sectie <a href="chap-linReg.html#sec:linDummy">6.10</a>).
We zullen hierbij steeds 1 dummy variable minder nodig hebben dan er groepen zijn.</p>
<p>Voor het prostacycline voorbeeld zijn dus twee dummy variabelen nodig en kunnen we de data dus modelleren met onderstaand lineair regressiemodel:
Stel dat <span class="math inline">\(Y_i\)</span> de uitkomst voorstelt van observatie <span class="math inline">\(i\)</span> (<span class="math inline">\(i=1,\ldots, n\)</span>), dan beschouwen we</p>
<p><span class="math display" id="eq:regmu3">\[\begin{eqnarray}
Y_i &=& g(x_{i1},x_{i2}) + \epsilon_i\\
Y_i &=& \beta_0+\beta_1 x_{i1} +\beta_2 x_{i2} +\epsilon_i \tag{7.1}
\end{eqnarray}\]</span></p>
<p>waarbij de error term opnieuw i.i.d.<a href="#fn45" class="footnote-ref" id="fnref45"><sup>45</sup></a> normaal verdeeld wordt verondersteld met een constante variantie, <span class="math inline">\(\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)\)</span>, en waarbij de predictoren dummy-variabelen zijn:</p>
<p><span class="math display">\[x_{i1} = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & \text{ als observatie $i$ behoort tot middelste dosisgroep (M)} \\
0 & \text{ als observatie $i$ behoort tot een andere dosisgroep} \end{array}\right. .\]</span></p>
<p>en
<span class="math display">\[x_{i2} = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & \text{ als observatie $i$ behoort tot de hoogste dosisgroep (H)} \\
0 & \text{ als observatie $i$ behoort tot een andere dosisgroep} \end{array}\right. .\]</span></p>
<p>De lage dosisgroep (L) met <span class="math inline">\(x_{i1}=x_{i2}=0\)</span> wordt in deze context de <strong>referentiegroep</strong> genoemd.</p>
<p>Zoals in Sectie <a href="chap-linReg.html#sec:linDummy">6.10</a> kunnen we het regressie-model opnieuw herschrijven als een model voor elke groep:</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>Voor observaties in <strong>dosisgroep L</strong> wordt het Model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a></li>
</ol>
<p><span class="math display">\[Y_i = \beta_0+\epsilon_i,\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)\)</span>.</p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li>Voor observaties in <strong>dosisgroep M</strong> wordt het Model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a></li>
</ol>
<p><span class="math display">\[Y_i = \beta_0+\beta_1 + \epsilon_i,\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)\)</span>.</p>
<ol start="3" style="list-style-type: decimal">
<li>Voor observaties in <strong>dosisgroep H</strong> wordt het Model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a></li>
</ol>
<p><span class="math display">\[Y_i = \beta_0+\beta_2 + \epsilon_i\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)\)</span>.</p>
<p>Hieruit volgt direct de interpretatie van de modelparameters:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\beta_0 &=& \text{E}\left[Y_i \mid \text{behandeling met lage dosisgroep L}\right] \\
\beta_1 &=& (\beta_0+\beta_1)-\beta_0 = \text{E}\left[Y_i \mid \text{behandeling M}\right] - \text{E}\left[Y_i \mid \text{behandeling L}\right] \\
\beta_2 &=& (\beta_0+\beta_2)-\beta_0 = \text{E}\left[Y_i \mid \text{behandeling H}\right]-\text{E}\left[Y_i \mid \text{behandeling L}\right].
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p>of anders geformuleerd:</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>parameter <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> is de gemiddelde uitkomst in de lage dosis groep L.</li>
<li>Parameter <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> is het effect (verschil in gemiddelde concentratie) van groep M t.o.v. groep L.</li>
<li>Parameter <span class="math inline">\(\beta_2\)</span> is het effect van hoge dosis groep H t.o.v. groep L.</li>
</ol>
<p>We herformuleren de modellen gebruik makend van de <span class="math inline">\(\mu\)</span>-notaties:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
Y_{i\vert \text{dose=L}} &=& \beta_0+\epsilon_i = \mu_1+\epsilon_i \\
Y_{i\vert \text{dose=M}} &=& \beta_0+\beta_1+ \epsilon_i = \mu_2+\epsilon_i \\
Y_{i\vert \text{dose=H}} &=& \beta_0+\beta_2 + \epsilon_i = \mu_3+\epsilon_i .
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)\)</span> en met</p>
<p><span class="math display">\[ \mu_j = \text{E}\left[Y_i \mid \text{behandelingsgroep } j\right].\]</span></p>
<p>De oorspronkelijk nulhypothese <span class="math inline">\(H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3\)</span> kan equivalent geformuleerd worden als</p>
<p><span class="math display">\[H_0: \beta_1=\beta_2=0.\]</span></p>
<p>Gezien Model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a> een lineair regressiemodel is, kunnen de methoden van lineaire regressie gebruikt worden voor het schatten van de parameters en hun varianties, het opstellen van hypothesetesten en betrouwbaarheidsintervallen.
Het testen van <span class="math inline">\(H_0: \beta_1=\beta_2=0\)</span> gebeurt d.m.v. een <span class="math inline">\(F\)</span>-test.
Hiermee is bijna de volledige oplossing bekomen.</p>
<p>Voor het prostacycline voorbeeld bekomen we het volgende model in het software pakket R:</p>
<div class="sourceCode" id="cb355"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb355-1"><a href="chap-anova.html#cb355-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>model1 <span class="ot"><-</span> <span class="fu">lm</span>(prostac <span class="sc">~</span> dose, <span class="at">data =</span> prostacyclin)</span>
<span id="cb355-2"><a href="chap-anova.html#cb355-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">summary</span>(model1)</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Call:
## lm(formula = prostac ~ dose, data = prostacyclin)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -35.167 -17.117 -4.958 17.927 41.133
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 40.108 6.150 6.521 2.10e-07 ***
## dose25 8.258 8.698 0.949 0.349
## dose50 43.258 8.698 4.974 1.99e-05 ***
## ---
## Signif. codes:
## 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 21.3 on 33 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.458, Adjusted R-squared: 0.4252
## F-statistic: 13.94 on 2 and 33 DF, p-value: 4.081e-05</code></pre>
<p>We zien dat R eveneens de lage klasse (dose10) kiest als referentie-klasse aangezien er enkel een intercept voorkomt en parameters voor dose25 (M) en dose50 (H).
De output laat dus onmiddellijk toe om het effect te vergelijken tussen de middelste en laagste dosisgroep en de hoogste en laagste dosisgroep a.d.h.v. twee t-testen.<br />
De volledige nulhypothese <span class="math inline">\(H_0: \beta_1=\beta_2=0\)</span> kan worden geëvalueerd op basis van de F-test onderaan in de output.
De p-waarde van de test geeft aan dat er een extreem significant effect is van de arachidonzuurconcentratie op het gemiddelde prostacycline niveau (<span class="math inline">\(p<<0.001\)</span>).
In de volgende Sectie tonen we dat de F-test opnieuw opgebouwd wordt d.m.v. kwadratensommen.</p>
<!---break-->
</div>
<div id="kwadratensommen-en-anova" class="section level3 hasAnchor" number="7.2.2">
<h3><span class="header-section-number">7.2.2</span> Kwadratensommen en Anova<a href="chap-anova.html#kwadratensommen-en-anova" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/lnpDPjMCY54" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Net zoals bij enkelvoudige regressie (Sectie <a href="chap-linReg.html#sec:linAnova">6.9</a>) kunnen we opnieuw de kwadratensom van de regressie gebruiken bij het opstellen van de F-test.
De kwadratensom van de regressie</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\text{SSR}&=&\sum\limits_{i=1}^n (\hat Y_{i} -\bar Y)^2
\end{eqnarray*}\]</span>
kan nu worden herschreven als
<span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\text{SSR}&=&\sum\limits_{i=1}^n (\hat Y_i -\bar Y)^2\\
&=& \sum\limits_{i=1}^n (\hat{g} (x_{i1},x_{i2}) - \bar Y)^2\\
&=& \sum\limits_{i=1}^n (\hat\beta_0+\hat\beta_1x_{i1}+\hat\beta_2x_{i2}) - \bar Y)^2\\
&=& \sum\limits_{i=1}^{n_1} (\hat\beta_0 - \bar Y)^2 +\sum\limits_{i=1}^{n_2} (\hat\beta_0 + \hat\beta_1 - \bar Y)^2+\sum\limits_{i=1}^{n_3} (\hat\beta_0 + \hat\beta_2 - \bar Y)^2\\
&=& \sum\limits_{i=1}^{n_1} (\bar Y_1- \bar Y)^2 +\sum\limits_{i=1}^{n_2} (\bar Y_2- \bar Y)^2+\sum\limits_{i=1}^{n_3} (\bar Y_3 - \bar Y)^2\\
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(n_1\)</span>, <span class="math inline">\(n_2\)</span> en <span class="math inline">\(n_3\)</span> het aantal observaties in elke groep (<span class="math inline">\(n-1=n_2=n_3=12\)</span>).</p>
<p>Net als in Sectie <a href="chap-linReg.html#sec:linAnova">6.9</a> is SSR een maat voor de afwijking tussen de predicties van het anova model (groepsgemiddelden) en het steekproefgemiddelde van de uitkomsten.
Het kan opnieuw geïnterpreteerd worden als een maat voor de afwijking tussen het geschatte Model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a> en een gereduceerd model met enkel een intercept.
Deze laatste is dus eigenlijk een schatting van het model <span class="math inline">\(g(x_1,x_2)=\beta_0\)</span>, waarin <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> geschat wordt door <span class="math inline">\(\bar{Y}\)</span>.
Anders geformuleerd: SSR meet de grootte van het behandelingseffect zodat <span class="math inline">\(\text{SSR} \approx 0\)</span> duidt op de afwezigheid van het effect van de dummy variabelen en <span class="math inline">\(\text{SSR}>0\)</span> duidt op een effect van de dummy variabelen. We voelen opnieuw aan dat <span class="math inline">\(\text{SSR}\)</span> zal kunnen worden gebruikt voor het ontwikkelen van een statistische test voor de evaluatie van het behandelingseffect.
In de anova context heeft SSR <span class="math inline">\(g-1=3-1=2\)</span> vrijheidsgraden: de kwadratensom is opgebouwd op basis van <span class="math inline">\(g=3\)</span> groepsgemiddelden <span class="math inline">\(\bar Y_j\)</span> en we verliezen 1 vrijheidsgraad door de schatting van het algemeen steekproefgemiddelde <span class="math inline">\(\bar Y\)</span>.
Wanneer we SSR interpreteren als een verschil tussen twee modellen, bekomen we eveneens een verschil van <span class="math inline">\(g-1=2\)</span> vrijheidsgraden: <span class="math inline">\(g=3\)</span> model parameters in het volledige model (intercept voor referentie klasse en g-1 parameters voor elk van de dummies) en 1 parameter voor het gereduceerde model (enkel intercept).</p>
<p>In een ANOVA setting is het gebruikelijk om de kwadratensom van de regressie te noteren als <span class="math inline">\(\text{SST}\)</span>, de <strong>kwadratensom van de behandeling (treatment)</strong> of als SSBetween.
De kwadratensom van de behandeling geeft inderdaad de variabiliteit weer tussen de groepen.
Het meet immers de afwijkingen tussen de groepsgemiddelden <span class="math inline">\(\bar Y_j\)</span> en het steekproefgemiddelde <span class="math inline">\(\bar Y\)</span> (Zie Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostacSST">7.3</a>).
We kunnen eveneens opnieuw een overeenkomstige gemiddelde kwadratensom bekomen als</p>
<p><span class="math display">\[\text{MST}=\text{SST}/(g-1).\]</span></p>
<p>met het aantal groepen <span class="math inline">\(g=3\)</span>.</p>
<div class="figure"><span style="display:block;" id="fig:prostacSST"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/prostacSST-1.png" alt="Interpretatie van de kwadratensom van de behandeling (SST): de som van de kwadratische afwijkingen tussen de groepsgemiddelden ($\bar Y_j$) en het steekproefgemiddelde van de uitkomsten ($\bar Y$)" width="672" />
<p class="caption">
Figuur 7.3: Interpretatie van de kwadratensom van de behandeling (SST): de som van de kwadratische afwijkingen tussen de groepsgemiddelden (<span class="math inline">\(\bar Y_j\)</span>) en het steekproefgemiddelde van de uitkomsten (<span class="math inline">\(\bar Y\)</span>)
</p>
</div>
<p>Opnieuw kunnen we de totale kwadratensom SSTot ontbinden in</p>
<p><span class="math display">\[\text{SSTot} = \text{SST} + \text{SSE}.\]</span></p>
<p>Waarbij SSTot opnieuw de totale variabiliteit voorstelt, met name de som van de kwadratische afwijking van de uitkomsten <span class="math inline">\(Y_{i}\)</span> t.o.v. het algemeen gemiddelde prostacycline niveau <span class="math inline">\(\bar{Y}\)</span> en SSE de residuele variabiliteit of de som van de kwadratische afwijkingen tussen de observaties <span class="math inline">\(Y_{i}\)</span> en de modelvoorspellingen (hier groepsgemiddelden) <span class="math inline">\(\hat{g}(x_{i1},x_{i2})=\hat \mu_j=\bar Y_j\)</span>.</p>
De interpretatie van de deze kwadratensommen worden weergegeven in Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostacSSTotSSE">7.4</a>.
<div class="figure"><span style="display:block;" id="fig:prostacSSTotSSE"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/prostacSSTotSSE-1.png" alt="Interpretatie van de totale kwadratensom (SSTot, som van de kwadratische afwijkingen tussen de uitkomsten $Y_{i}$ en het steekproefgemiddelde van de uitkomsten $\bar Y$, links) en van residuele kwadratensom (SSE, som van de kwadratische afwijkingen tussen de uitkomsten $Y_{i}$ en de groepsgemiddelden $\bar Y_j$, rechts)" width="672" />
<p class="caption">
Figuur 7.4: Interpretatie van de totale kwadratensom (SSTot, som van de kwadratische afwijkingen tussen de uitkomsten <span class="math inline">\(Y_{i}\)</span> en het steekproefgemiddelde van de uitkomsten <span class="math inline">\(\bar Y\)</span>, links) en van residuele kwadratensom (SSE, som van de kwadratische afwijkingen tussen de uitkomsten <span class="math inline">\(Y_{i}\)</span> en de groepsgemiddelden <span class="math inline">\(\bar Y_j\)</span>, rechts)
</p>
</div>
</div>
<div id="anova-test" class="section level3 hasAnchor" number="7.2.3">
<h3><span class="header-section-number">7.2.3</span> Anova-test<a href="chap-anova.html#anova-test" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Het testen van <span class="math inline">\(H_0: \beta_1=\ldots=\beta_{g-1}=0\)</span> vs <span class="math inline">\(H_1: \exists k \in\{1,\ldots,g-1\} : \beta_k \neq0\)</span><a href="#fn46" class="footnote-ref" id="fnref46"><sup>46</sup></a> kan d.m.v. onderstaande <span class="math inline">\(F\)</span>-test.</p>
<p><span class="math display">\[F = \frac{\text{MST}}{\text{MSE}}\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\text{MST}\)</span> de gemiddelde kwadratensom van de behandeling met <span class="math inline">\(g-1\)</span> vrijheidsgraden en <span class="math inline">\(\text{MSE}\)</span> de gemiddelde residuele kwadratensom uit het niet-gereduceerde model <a href="chap-anova.html#eq:regmu3">(7.1)</a>, deze heeft <span class="math inline">\(n-g\)</span> vrijheidsgraden (met het aantal groepen <span class="math inline">\(g=3\)</span>).
De teststatistiek vergelijkt dus variabiliteit verklaard door het model (MST) met de residuele variabiliteit (MSE) of met andere woorden vergelijkt het de
variabiliteit tussen groepen (MST) met de variabiliteit binnen groepen (MSE).
Grotere waarden voor de test-statistiek zijn minder waarschijnlijk onder de nulhypothese.
Wanneer aan alle modelvoorwaarden is voldaan, dan volgt de statistiek onder de nulhypothese opnieuw een F-verdeling, <span class="math inline">\(F \sim F_{g-1,n-g}\)</span>, met <span class="math inline">\(g-1\)</span> vrijheidsgraden in de teller en <span class="math inline">\(n-g\)</span> vrijheidsgraden in de noemer.</p>
</div>
<div id="anova-tabel-1" class="section level3 hasAnchor" number="7.2.4">
<h3><span class="header-section-number">7.2.4</span> Anova Tabel<a href="chap-anova.html#anova-tabel-1" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>De kwadratensommen en de F-test worden meestal in een zogenaamde variantie-analyse tabel of een anova tabel gerapporteerd.</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th style="text-align:left;">
</th>
<th style="text-align:left;">
Df
</th>
<th style="text-align:left;">
Sum Sq
</th>
<th style="text-align:left;">
Mean Sq
</th>
<th style="text-align:left;">
F value
</th>
<th style="text-align:left;">
Pr(>F)
</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align:left;">
Treatment
</td>
<td style="text-align:left;">
vrijheidsgraden SST
</td>
<td style="text-align:left;">
SST
</td>
<td style="text-align:left;">
MST
</td>
<td style="text-align:left;">
f-statiestiek
</td>
<td style="text-align:left;">
p-waarde
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
Error
</td>
<td style="text-align:left;">
vrijheidsgraden SSE
</td>
<td style="text-align:left;">
SSE
</td>
<td style="text-align:left;">
MSE
</td>
<td style="text-align:left;">
</td>
<td style="text-align:left;">
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>De anovatabel voor het prostacycline voorbeeld kan als volgt in de R-software worden bekomen</p>
<div class="sourceCode" id="cb357"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb357-1"><a href="chap-anova.html#cb357-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">anova</span>(model1)</span></code></pre></div>
<pre><code>## Analysis of Variance Table
##
## Response: prostac
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## dose 2 12658 6329.0 13.944 4.081e-05 ***
## Residuals 33 14979 453.9
## ---
## Signif. codes:
## 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1</code></pre>
<p>We kunnen dus opnieuw besluiten dat er een extreem significant effect is van de dosering van arachidonzuur op de gemiddelde prostacycline concentratie in het bloed bij ratten (<span class="math inline">\(p<<0.001\)</span>).</p>
In Figuur <a href="chap-anova.html#fig:prostacF">7.5</a> wordt de F-verdeling weergegeven samen met de kritische waarde op het 5% significantie niveau en de geobserveerde F-statistiek voor het prostacycline voorbeeld.<br />
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:prostacF"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/prostacF-1.png" alt="Een F-verdeling met 2 vrijheidsgraden in de teller en 33 in de noemer. Het aanvaardingsgebied wordt weergegeven in blauw, de kritische waarde en de verwerpingsregio bij het $\alpha=5\%$ niveau in rood, en, de geobserveerde f-waarde en de p-waarde worden in oranje." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 7.5: Een F-verdeling met 2 vrijheidsgraden in de teller en 33 in de noemer. Het aanvaardingsgebied wordt weergegeven in blauw, de kritische waarde en de verwerpingsregio bij het <span class="math inline">\(\alpha=5\%\)</span> niveau in rood, en, de geobserveerde f-waarde en de p-waarde worden in oranje.
</p>
</div>
<p>Voorbeelden van meerdere F-verdelingen met een verschillend aantal vrijheidsgraden in teller en noemer worden weergegeven in Figuur <a href="chap-anova.html#fig:ftheo">7.6</a>.</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:ftheo"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/ftheo-1.png" alt="Meerdere F-verdelingen met een verschillend aantal vrijheidsgraden in de teller en de noemer." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 7.6: Meerdere F-verdelingen met een verschillend aantal vrijheidsgraden in de teller en de noemer.
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden" class="section level2 hasAnchor" number="7.3">
<h2><span class="header-section-number">7.3</span> Post hoc analyse: Meervoudig Vergelijken van Gemiddelden<a href="chap-anova.html#post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="naïeve-methode" class="section level3 hasAnchor" number="7.3.1">
<h3><span class="header-section-number">7.3.1</span> Naïeve methode<a href="chap-anova.html#naïeve-methode" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/vaH1SpGAVqY" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>In het eerste deel van dit hoofdstuk hebben we een <span class="math inline">\(F\)</span>-test besproken die gebruikt kan worden voor het testen van</p>
<p><span class="math display">\[ H_0: \mu_1=\cdots = \mu_g \text{ versus } H_1: \text{niet } H_0.\]</span></p>
<p>Dus als de nulhypothese verworpen wordt, dan wordt besloten dat er minstens twee gemiddelden verschillen van elkaar. De methode stelt ons echter niet in staat om te identificeren welke gemiddelden van elkaar verschillen.</p>
<p>Een eerste, maar naïeve benadering van het probleem bestaat erin om de nulhypothese op te splitsen in partiële hypotheses</p>
<p><span class="math display">\[H_{0jk}: \mu_j=\mu_k \text{ versus } H_{1jk}: \mu_j \neq \mu_k\]</span></p>
<p>en deze partiële hypotheses te testen met two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-testen. Voor het vergelijken van groep <span class="math inline">\(j\)</span> met groep <span class="math inline">\(k\)</span> wordt de klassieke two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test onder de veronderstelling van homoscedasticiteit gegeven door</p>
<p><span class="math display">\[T_{jk} = \frac{\bar{Y}_j-\bar{Y}_k}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_j}+\frac{1}{n_k}}} \sim t_{n-2}\]</span></p>
<p>waarin <span class="math inline">\(S_p^2\)</span> de gepoolde variantieschatter is,</p>
<p><span class="math display">\[S_p^2 = \frac{(n_j-1)S_j^2 + (n_k-1)S_k^2}{n_j+n_k-2}\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(S_j^2\)</span> en <span class="math inline">\(S_k^2\)</span> de steekproefvarianties van respectievelijk de uitkomsten uit groep <span class="math inline">\(j\)</span> en <span class="math inline">\(k\)</span>.</p>
<p>In een ANOVA context wordt echter verondersteld dat in <strong>alle</strong> <span class="math inline">\(g\)</span> groepen de variantie van de uitkomsten dezelfde is (de residuele variantie <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>). Indien we dus <span class="math inline">\(S_p^2\)</span> gebruiken, dan is dit niet de meest efficiënte schatter omdat deze niet van alle data gebruik maakt<a href="#fn47" class="footnote-ref" id="fnref47"><sup>47</sup></a>. We kunnen dus efficiëntie winnen door MSE te gebruiken. Ter herinnering, MSE kan geschreven worden als</p>
<p><span class="math display">\[\text{MSE}= \sum_{j=1}^g \frac{(n_j-1)S_j^2}{n-g}.\]</span></p>
<p>De <span class="math inline">\(t\)</span>-testen voor het twee-aan-twee vergelijken van alle gemiddelden worden dus best gebaseerd op</p>
<p><span class="math display">\[T_{jk} = \frac{\bar{Y}_j-\bar{Y}_k}{\text{MSE}\sqrt{\frac{1}{n_j}+\frac{1}{n_k}}} \sim t_{n-g}.\]</span></p>
<p>We zullen hier eerst demonstreren dat het werken met <span class="math inline">\(m\)</span>-testen op het <span class="math inline">\(\alpha\)</span> significantieniveau een foute aanpak is die de kans op een type I fout niet onder controle kan houden. Dit zal aanleiding geven tot een meer algemene definitie van de type I fout.</p>
<p>Alvorens de denkfout in de naïeve aanpak te demonsteren via simulaties, tonen we hoe de naïeve benadering in zijn werk zou gaan voor het prostacycline voorbeeld.</p>
<div class="sourceCode" id="cb359"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb359-1"><a href="chap-anova.html#cb359-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">with</span>(</span>
<span id="cb359-2"><a href="chap-anova.html#cb359-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> prostacyclin,</span>
<span id="cb359-3"><a href="chap-anova.html#cb359-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pairwise.t.test</span>(prostac, dose, <span class="st">"none"</span>)</span>
<span id="cb359-4"><a href="chap-anova.html#cb359-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> )</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
##
## data: prostac and dose
##
## 10 25
## 25 0.34927 -
## 50 2e-05 0.00031
##
## P value adjustment method: none</code></pre>
<p>Deze output toont de tweezijdige <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden voor het testen van alle partiële hypotheses.
We zouden hier kunnen besluiten dat het gemiddelde prostacycline niveau extreem significant verschillend is tussen de hoge en de lage dosis groep en tussen de hoge en de matige dosis groep (beide <span class="math inline">\(p<<0.001\)</span>).
Verder is het gemiddelde prostacycline niveau niet significant verschillend is tussen de matige en de lage dosis groep.</p>
<p>In onderstaande R code wordt een simulatiestudie opgezet (herhaalde steekproefname).</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>We simuleren uit een ANOVA model met <span class="math inline">\(g=3\)</span> groepen.</li>
<li>De gemiddelden in het ANOVA model zijn gelijk aan elkaar, zodat de nulhypothese</li>
</ol>
<p><span class="math display">\[H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3\]</span></p>
<p>opgaat.
3. Voor iedere gesimuleerde dataset zijn er <span class="math inline">\(m=3\)</span> paarsgewijze two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-testen
4. Zodra minstens één van de <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden kleiner is dan het significantieniveau <span class="math inline">\(\alpha=5\%\)</span>, wordt de nulhypothese <span class="math inline">\(H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3\)</span> verworpen omdat er minstens twee gemiddelden verschillend zijn volgens de <span class="math inline">\(t\)</span>-testen.
5. We rapporteren de relatieve frequentie van het verwerpen van de globale nulhypothese, meer bepaald de kans op een type I fout van de test voor <span class="math inline">\(H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3\)</span>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb361"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb361-1"><a href="chap-anova.html#cb361-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>g <span class="ot"><-</span> <span class="dv">3</span> <span class="co"># aantal behandelingen (g=3)</span></span>
<span id="cb361-2"><a href="chap-anova.html#cb361-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>ni <span class="ot"><-</span> <span class="dv">12</span> <span class="co"># aantal herhalingen in iedere groep</span></span>
<span id="cb361-3"><a href="chap-anova.html#cb361-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>n <span class="ot"><-</span> g<span class="sc">*</span>ni <span class="co"># totaal aantal observaties</span></span>
<span id="cb361-4"><a href="chap-anova.html#cb361-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>alpha <span class="ot"><-</span> <span class="fl">0.05</span> <span class="co"># significantieniveau van een individuele test</span></span>
<span id="cb361-5"><a href="chap-anova.html#cb361-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>N <span class="ot"><-</span> <span class="dv">10000</span> <span class="co">#aantal simulaties</span></span>
<span id="cb361-6"><a href="chap-anova.html#cb361-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">set.seed</span>(<span class="dv">302</span>) <span class="co">#seed zodat resultaten exact geproduceerd kunnen worden</span></span>
<span id="cb361-7"><a href="chap-anova.html#cb361-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>trt <span class="ot"><-</span> <span class="fu">factor</span>(<span class="fu">rep</span>(<span class="dv">1</span><span class="sc">:</span>g, ni)) <span class="co">#factor</span></span>
<span id="cb361-8"><a href="chap-anova.html#cb361-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>cnt <span class="ot"><-</span> <span class="dv">0</span> <span class="co">#teller voor aantal foutieve verwerpingen</span></span>
<span id="cb361-9"><a href="chap-anova.html#cb361-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb361-10"><a href="chap-anova.html#cb361-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">for</span>(i <span class="cf">in</span> <span class="dv">1</span><span class="sc">:</span>N) {</span>
<span id="cb361-11"><a href="chap-anova.html#cb361-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span> (i <span class="sc">%%</span> <span class="dv">1000</span> <span class="sc">==</span> <span class="dv">0</span>) <span class="fu">cat</span>(i, <span class="st">"/"</span>, N, <span class="st">"</span><span class="sc">\n</span><span class="st">"</span>)</span>
<span id="cb361-12"><a href="chap-anova.html#cb361-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>y <span class="ot"><-</span> <span class="fu">rnorm</span>(n)</span>
<span id="cb361-13"><a href="chap-anova.html#cb361-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>tests <span class="ot"><-</span> <span class="fu">pairwise.t.test</span>(y, trt, <span class="st">"none"</span>)</span>
<span id="cb361-14"><a href="chap-anova.html#cb361-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>verwerp <span class="ot"><-</span> <span class="fu">min</span>(tests<span class="sc">$</span>p.value, <span class="at">na.rm =</span> T) <span class="sc"><</span> alpha</span>
<span id="cb361-15"><a href="chap-anova.html#cb361-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span>(verwerp) cnt <span class="ot"><-</span> cnt<span class="sc">+</span><span class="dv">1</span></span>
<span id="cb361-16"><a href="chap-anova.html#cb361-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>}</span></code></pre></div>
<pre><code>## 1000 / 10000
## 2000 / 10000
## 3000 / 10000
## 4000 / 10000
## 5000 / 10000
## 6000 / 10000
## 7000 / 10000
## 8000 / 10000
## 9000 / 10000
## 10000 / 10000</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb363"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb363-1"><a href="chap-anova.html#cb363-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>cnt<span class="sc">/</span>N</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.1209</code></pre>
<p>De simulatiestudie toont aan dat de kans op een type I fout gelijk is aan 12.1%, wat meer dan dubbel zo groot is dan de vooropgestelde <span class="math inline">\(\alpha=5\%\)</span>.
Als we de simulatiestudie herhalen met <span class="math inline">\(g=5\)</span> groepen (i.e. m=g(g-1)/2=10 paarsgewijze <span class="math inline">\(t\)</span>-testen) dan vinden we <span class="math inline">\(28.0\%\)</span> in plaats van de gewenste <span class="math inline">\(5\%\)</span>.
Deze simulaties illustreren het probleem van <strong>multipliciteit</strong> (Engels: <em>multiplicity</em>): de klassieke <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden mogen enkel met het significantieniveau <span class="math inline">\(\alpha\)</span> vergeleken worden, indien het besluit op exact één <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde gebaseerd is. Hier wordt het finale besluit (aldanniet verwerpen van <span class="math inline">\(H_0: \mu_1=\cdots =\mu_g\)</span>) gebaseerd op <span class="math inline">\(m=g\times(g-1)/2\)</span> <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden, met <span class="math inline">\(g\)</span> het aantal groepen.</p>
<p>In de volgende sectie breiden we het begrip van type I fout uit en introduceren we enkele oplossingen om met multipliciteit om te gaan.</p>
<!---break-->
</div>
<div id="family-wise-error-rate" class="section level3 hasAnchor" number="7.3.2">
<h3><span class="header-section-number">7.3.2</span> Family-wise error rate<a href="chap-anova.html#family-wise-error-rate" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Tmwid9_KqUE" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Wanneer <span class="math inline">\(m>1\)</span> toetsen worden aangewend om 1 beslissing te vormen, is het noodzakelijk te corrigeren voor het risico op vals positieve resultaten<a href="#fn48" class="footnote-ref" id="fnref48"><sup>48</sup></a>.
Meeste procedures voor meervoudig toetsen gaan ervan uit dat <em>alle <span class="math inline">\(m\)</span> nulhypotheses waar</em> zijn.
Er wordt dan geprobeerd om het <em>risico op minstens 1 vals positief resultaat</em> te controleren op <strong>experimentgewijs significantieniveau <span class="math inline">\(\alpha_E\)</span></strong>, typisch <span class="math inline">\(\alpha_E=0.05\)</span>. In de engelstalige literatuur wordt het experimentgewijs significantieniveau <em>family-wise error rate (FWER)</em> genoemd.</p>
<div id="bonferroni-correctie" class="section level4 hasAnchor" number="7.3.2.1">
<h4><span class="header-section-number">7.3.2.1</span> Bonferroni correctie<a href="chap-anova.html#bonferroni-correctie" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Bij het uitvoeren van <span class="math inline">\(m\)</span> onafhankelijke toetsen met elk significantieniveau <span class="math inline">\(\alpha\)</span>, is</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\alpha_E&=&\text{P}[\text{minstens 1 Type I fout}]\\
&=&1-(1-\alpha)^m \leq m\alpha
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<ul>
<li>Als we 5 toetsen uitvoeren op het 5% significantieniveau is FWER <span class="math inline">\(\approx 25\%\)</span>.</li>
<li>Door ze op het 1% significantieniveau uit te voeren, bekomen we FWER <span class="math inline">\(\approx 5\%\)</span>.</li>
</ul>
<p>De Bonferroni correctie houdt de FWER begrensd op <span class="math inline">\(\alpha_E\)</span> door <span class="math display">\[\alpha=\alpha_E/m\]</span> te kiezen voor het uitvoeren van de <span class="math inline">\(m\)</span> paarsgewijze vergelijkingen.
Als alternatieve methode kunnen we ook</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><em>aangepaste p-waarden</em> rapporteren zodat we deze met het experimentgewijze <span class="math inline">\(\alpha_E\)</span> niveau kunnen vergelijken:</li>
</ol>
<p><span class="math display">\[\tilde{p}=min(m\times p,1)\]</span></p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li><span class="math inline">\((1-\alpha_E/m)100\%\)</span> betrouwbaarheidsintervallen rapporteren.</li>
</ol>
<p>Het gebruik van aangepaste p-waarden heeft als voordeel dat de lezer deze zelf kan interpreteren en hij/zij een maat kan geven voor de significantie op het experimentsgewijs significantie niveau.
Merk op dat we de aangepaste p-waarden begrenzen op <span class="math inline">\(\tilde{p}=1\)</span> omdat p-waarden kansen zijn en steeds tussen 0 en 1 dienen te liggen.</p>
<p>Onderstaande R code geeft de resultaten (gecorrigeerde <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden) na correctie met de methode van Bonferroni.</p>
<div class="sourceCode" id="cb365"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb365-1"><a href="chap-anova.html#cb365-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">with</span>(</span>
<span id="cb365-2"><a href="chap-anova.html#cb365-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> prostacyclin,</span>
<span id="cb365-3"><a href="chap-anova.html#cb365-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pairwise.t.test</span>(</span>
<span id="cb365-4"><a href="chap-anova.html#cb365-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> prostac,</span>
<span id="cb365-5"><a href="chap-anova.html#cb365-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> dose,</span>
<span id="cb365-6"><a href="chap-anova.html#cb365-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="at">p.adjust.method=</span><span class="st">"bonferroni"</span>)</span>
<span id="cb365-7"><a href="chap-anova.html#cb365-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> )</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
##
## data: prostac and dose
##
## 10 25
## 25 1.00000 -
## 50 6e-05 0.00094
##
## P value adjustment method: bonferroni</code></pre>
<p>De conclusies blijven hetzelfde behalve dat de FWER nu gecontroleerd is <span class="math inline">\(\alpha=5\%\)</span> en de <span class="math inline">\(\tilde{p}\)</span>-waarden een factor 3 groter zijn.</p>
<p>Dezelfde analyse kan uitgevoerd worden met het <code>multcomp</code> R package dat speciaal werd ontwikkeld voor multipliciteit in lineaire modellen.</p>
<div class="sourceCode" id="cb367"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb367-1"><a href="chap-anova.html#cb367-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">library</span>(multcomp)</span>
<span id="cb367-2"><a href="chap-anova.html#cb367-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>model1.mcp <span class="ot"><-</span> <span class="fu">glht</span>(model1, <span class="at">linfct =</span> <span class="fu">mcp</span>(<span class="at">dose =</span> <span class="st">"Tukey"</span>))</span>
<span id="cb367-3"><a href="chap-anova.html#cb367-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">summary</span>(model1.mcp, <span class="at">test =</span> <span class="fu">adjusted</span>(<span class="st">"bonferroni"</span>))</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
##
## Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
##
##
## Fit: lm(formula = prostac ~ dose, data = prostacyclin)
##
## Linear Hypotheses:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## 25 - 10 == 0 8.258 8.698 0.949 1.000000
## 50 - 10 == 0 43.258 8.698 4.974 5.98e-05 ***
## 50 - 25 == 0 35.000 8.698 4.024 0.000943 ***
## ---
## Signif. codes:
## 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## (Adjusted p values reported -- bonferroni method)</code></pre>
<p>Om Bonferroni aangepaste betrouwbaarheidsintervallen te verkrijgen moeten we eerst zelf functie definiëren in R om bonferroni kritische waarde te bepalen. We noemen deze functie <code>calpha_bon_t</code>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb369"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb369-1"><a href="chap-anova.html#cb369-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>calpha_bon_t <span class="ot"><-</span> <span class="cf">function</span>(object, level)</span>
<span id="cb369-2"><a href="chap-anova.html#cb369-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>{</span>
<span id="cb369-3"><a href="chap-anova.html#cb369-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">abs</span>(</span>
<span id="cb369-4"><a href="chap-anova.html#cb369-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">qt</span>(</span>