$$
\underline{q}\coloneqq\begin{bmatrix}q_1 & \dots & q_n\end{bmatrix}
$$
$$
\underline{\dot{q}}
\coloneqq\begin{bmatrix}\dot{q}_1&\dots&\dot{q}_n\end{bmatrix}
\coloneqq\begin{bmatrix}\dfrac{\dd{q}_1}{\dd{t}}&\dots&\dfrac{\dd{q}_n}{\dd{t}}\end{bmatrix}
\eqqcolon\dv{}{t}\underline{q}
$$
$$
\boxed{S\coloneqq\int_{t_1}^{t_2}L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t}}
$$
$$
\delta{S}=\int_{t_1}^{t_2}\delta{L}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t}
=\int_{t_1}^{t_2}\left(\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\delta{\underline{q}}+\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{\dot{q}}}\right)\dd{t}
$$
$$
\int_{t_1}^{t_2}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{\dot{q}}}\dd{t}
=\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{q}}\right){t_1}^{t_2}
-\int {t_1}^{t_2}\left(\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\right)\cdot\delta{\underline{q}}\dd{t}
$$
$$
\boxed{\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}=\pdv{L}{\underline{q}}}
$$
【定理】若 $L_{*}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 与 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 只相差一个以 $\underline{q},t$ 为自变量的函数 $f(\underline{q},t)$ 关于 $t$ 的全导数，即
$$
L_{*}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)+\dv{}{t}f(\underline{q},t)
$$
则它们给出相同的 Lagrange's 方程 ，从而在力学上完全等价。
$$
L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=L(v^{2})\qquad v^{2}\coloneqq\vec{v}\vdot\vec{v}
$$
$$
\boxed{L(\vec{v})=\frac{m}{2}v^{2}}
$$
$$
L(\vec{r}{1},\dots,\vec{r} {n},\vec{v}{1},\dots,\vec{v} {n},t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_{i}}{2}\vec{v}{i}^{2}-V(\vec{r} {1},\dots,\vec{r}_{n})
$$
$$
\boxed{L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=\tfrac{1}{2}\underline{\dot{q}}\cdot\underline{A}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}-V(\underline{q})}
$$
单个质点：
$$
m\dv{v}{t}=-\pdv{V}{\vec{r}}\impliedby L=\frac{1}{2}mv^{2}-V(\vec{r},t)
$$
质点系：
$$
L(\vec{r}{1},\dots,\vec{r} {n},\vec{v}{1},\dots,\vec{v} {n},t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_{i}}{2}\vec{v}{i}^{2}-V(\vec{r} {1},\dots,\vec{r}_{n},t)
$$
$$
\dv{L(\underline{q},\underline{\dot{q}})}{t}=\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}+\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dv{\underline{\dot{q}}}{t}
=\dv{}{t}\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}\right)
$$
$$
\boxed{E\coloneqq\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\underline{\dot{q}}-L=\text{const}}
$$
全空间的任意无穷小平移 $\delta\vec{r}\eqqcolon\vec{\epsilon}$ 不改变系统的力学行为，即
$$
0=\delta L=\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}{i}}\vdot\delta\vec{r} {i}=\vec{\epsilon}\vdot\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}{i}}=\vec{\epsilon}\vdot\dv{}{t}\sum {i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}_{i}}
$$
$$
\boxed{\vec{p}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\vec{p}{i}\coloneqq\sum {i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}{i}}=\sum {i=1}^{n}m_{i}\vec{v}_{i}=\text{const}}
$$
空间各向同性 $\Rightarrow$ 角动量守恒 全空间的任意无穷小旋转 $\delta\vec{\varphi}$ 不改变系统的力学行为，即
$$
\begin{aligned}0=\delta L & =\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}{i}}\vdot\delta\vec{r} {i}+\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}{i}}\vdot\delta\vec{v} {i}\
& =\sum_{i=1}^{n}\dot{\vec{p}}{i}\vdot\left(\delta\vec{\varphi}\cross\vec{r} {i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\vec{p}{i}\vdot\left(\delta\vec{\varphi}\cross\vec{v} {i}\right)\
& =\delta\vec{\varphi}\vdot\sum_{i=1}^{n}\dv{}{t}\left(\vec{r}{i}\cross\vec{p} {i}\right)\eqqcolon\delta\vec{\varphi}\vdot\dv{}{t}\sum_{i=1}^{n}\vec{L}_{i}
\end{aligned}
$$
$$
\boxed{\vec{L}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\vec{L}{i}\coloneqq\sum {i=1}^{n}\vec{r}{i}\cross\vec{p} {i}=\text{const}}
$$
Lagrangian 函数 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 关于广义速度的导数 被称为广义动量 ，即
$$
\underline{p}
\coloneqq\begin{bmatrix}p_1&\dots&p_n\end{bmatrix}
\coloneqq\begin{bmatrix}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}&\dots&\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_n}\end{bmatrix}
\eqqcolon\pdv{}{\underline{\dot{q}}}L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)
$$
上述定义式右端是以 $(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 为自变量的（代数）表达式。
若将 $(\underline{q},t)$ 及左端的 $\underline{p}$ 视为已知量，而将 $\underline{\dot{q}}$ 视为未知量，则该定义式可视为关于 $\underline{\dot{q}}$ 的（代数）方程。
从中解得 $ \underline{\dot{q}}=\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t) $，便可将 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 也化作以 $(\underline{q},\underline{p},t)$ 为自变量的表达式，即
$$
\tilde{L}(\underline{q},\underline{p},t)\coloneqq \mathopen{L}\left(\underline{q},\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t),t\right)
$$
由此可定义 Hamiltonian 函数
$$
\boxed{H(\underline{q},\underline{p},t)\coloneqq \underline{p}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t)- \tilde{L}(\underline{q},\underline{p},t)}
$$
其物理意义为系统的能量。
上述由 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 导出 $H(\underline{q},\underline{p},t)$ 的过程在数学上被称为 Legendre's 变换
$H(\underline{q},\underline{p},t)$ 的全微分可写成
$$
\dd{H}
=\dd{(\underline{p}\cdot\underline{\dot{q}}-\tilde{L})}
=\underline{p}\cdot\dd{\underline{\dot{q}}}+\underline{\dot{q}}\cdot\dd{\underline{p}}
-\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}}-\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dd{\underline{\dot{q}}}-\pdv{L}{t}\dd{t}
$$
利用 $\underline{p}$ 的定义及 Lagrange's 方程 ，可得
$$
\dd{H}
=\pdv{H}{\underline{p}}\cdot\dd{\underline{p}}
+\pdv{H}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}}
+\pdv{H}{t}\dd{t}
=\underline{\dot{q}}\cdot\dd{\underline{p}}
-\underline{\dot{p}}\cdot\dd{\underline{q}}
-\pdv{L}{t}\dd{t}
$$
比较后一个等号两侧 $\dd{\underline{p}},\dd{\underline{q}}$ 系数，即得 Hamilton's 方程
$$
\boxed{\underline{\dot{q}}=+\pdv{H}{\underline{p}}\qquad\underline{\dot{p}}=-\pdv{H}{\underline{q}}}
$$
此方程只含一阶导数，且具有很好的对称性，在分析力学中居于核心地位，故又名正则方程 (canonical equations) 。
比较 $\dd{t}$ 两侧的系数，可得
$$
\boxed{\pdv{H}{t}=-\pdv{L}{t}}
$$
其中表示时间 的变量 $t$ 可以推广为除了 $p,q$ 以外的任何决定 $L,H$ 的参数。
利用 Hamilton's 方程 ，可以将能量守恒 条件化为
$$
\dv{H}{t}
=\cancel{\underline{\dot{q}}\cdot\dv{\underline{p}}{t}-\underline{\dot{p}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}}
+\boxed{\pdv{H}{t}=0}
$$
即 $H$ 不显含时间 。
真实运动所对应的作用量 $S=\int_{t_1}^{t_2} L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t}$ 可以被视为由始末时刻 $t_1,t_2$ 及位置 $\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2)$ 所确定的量，即
$$
S=\mathopen{S}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right)
$$
若固定 $t_1,t_2$ 但允许 $\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2)$ 变化，则
$$
\delta{S}
=\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_2)
+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1)
=\int_{t_1}^{t_2}\left(\pdv{L}{\underline{q}}-\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\right)\cdot\mathopen{\delta}\underline{q}\dd{t}
+\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\mathopen{\delta}\underline{q}\right)_{t_1}^{t_2}
$$
真实轨道应满足 Lagrange's 方程 ，故被积函数为零；边界项中的偏导数可以用广义动量替换，因此有
$$
\delta{S}
=\mathopen{\underline{p}}(t_2)\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_2)
-\mathopen{\underline{p}}(t_1)\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1)
$$
比较系数，即得
$$
\mathopen{\underline{p}}(t_2)=+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\qquad
\mathopen{\underline{p}}(t_1)=-\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}
$$
将上式代入关于 $t_2,t_1$ 全导数 （依次固定 $t_1,t_2$ 并利用变上、下限积分的导数公式）
$$
\dv{S}{t_2}=+L(t_2)=\pdv{S}{t_2}+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_2)\qquad
\dv{S}{t_1}=-L(t_1)=\pdv{S}{t_1}+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_1)
$$
并利用 $H=\underline{p}\cdot\underline{\dot{q}}-L$ ，可得
$$
\pdv{S}{t_2}=-H(t_2)\qquad\pdv{S}{t_1}=+H(t_1)
$$
将它们代回关于 $t_2,t_1$ 全导数 ，即得
$$
\dv{S}{t_2}=+\mathopen{\underline{p}}(t_2)\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_2)-H(t_2)\qquad
\dv{S}{t_1}=-\mathopen{\underline{p}}(t_1)\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_1)+H(t_1)
$$
作用量 $\mathopen{S}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right)$ 的全微分（允许 $t_1,t_2$ 一起变化）应当是这两个微商与各自时间微元的乘积之和，即
$$
\boxed{\mathopen{\dd{S}}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right)
=\left(\mathopen{\underline{p}}(t)\cdot\mathopen{\dd{\underline{q}}}(t)-H(t)\dd{t}\right)_{t_1}^{t_2}}
$$
该式表明：真实轨道必须使右端表达式为全微分。
特别地，若取定初始位置（即 $\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1)=0$ ）并省略 $t_2$ 的下标，则有
$$
\dd{S}=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\implies
\boxed{S=\int\left(\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\right)}
$$
将 $\underline{p},\underline{q}$ 视为 $S$ 的独立变量，利用最小作用量原理 $\delta S=0$ ，可重新导出 Hamilton's 方程 。
只考虑满足能量守恒 $ H(\underline{p},\underline{q})=E $ 的系统。
若取定初始时刻 $t_0$ 及始末位置 $\mathopen{\underline{q}}(t_0),\mathopen{\underline{q}}(t)$ 且允许终止时刻 $t$ 变化，则有
$$
\delta{S}=-H(\underline{p},\underline{q}),\delta{t}=-E,\delta{t}
$$
另一方面，对作用量的 Hamiltonian 形式
$$
S=-(t-t_0)E+\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}
$$
作变分，可得
$$
\delta{S}=-E,\delta{t}+\delta{S_0}\qquad S_0\coloneqq\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}
$$
其中 $S_0$ 被称为简约作用量 。消去 $\delta{S}=-E,\delta{t}$ ，就得到 Maupertuis' 原理
$$
\delta{S_0}\equiv\boxed{\delta{\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}}=0}
$$
基于该原理，可以解出轨道 ，即不含时间的曲线方程。具体做法如下：
由 $E=E(\underline{q},\underline{\dot{q}})$ 解出 $\dd{t}$ ，将 $\dd{t}$ 表示成以 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 为自变量的函数。
将上述 $\dd{t}$ 代入 $\underline{p}=\partial L/\mathopen{\partial}\underline{\dot{q}}$ ，将 $\underline{p}$ 也表示成以 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 为自变量的函数。
将上述 $\underline{p}$ 代入 $\delta{S_0}=0$ ，即得 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 所应满足的方程，此即轨道方程 。
例 ：对于典型系统
$$
L=\tfrac12\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}-U(\underline{q})\qquad
\underline{p}=\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\qquad
E=\tfrac12\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}+U(\underline{q})
$$
上述步骤给出
$$
\begin{aligned}
\dd{t}=\sqrt{\frac{\underline{q}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{q}}{2(E-U(\underline{q}))}}
&\implies
\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}
=\frac{\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}{\dd{t}}
=\sqrt{2(E-U(\underline{q}))\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}\\
&\implies\boxed{\delta\int_{t_0}^t\sqrt{2(E-U(\underline{q}))\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}=0}
\end{aligned}
$$
一般的变量替换
$$
\underline{\tilde{q}}=\mathopen{\underline{\tilde{q}}}(\underline{q},\underline{p},t)\qquad
\underline{\tilde{p}}=\mathopen{\underline{\tilde{p}}}(\underline{q},\underline{p},t)
$$
不能保证新的运动方程仍具有正则形式，即
$$
\underline{\dot{\tilde{q}}}=+\pdv{\tilde{H}}{\underline{\tilde{p}}}\qquad\underline{\dot{\tilde{p}}}=-\pdv{\tilde{H}}{\underline{\tilde{q}}}
$$
但满足如下条件
$$
\boxed{(\exists F)\left(\dd{F}=\dd{S}-\dd{\tilde{S}}\right)}\qquad
\begin{cases}
\dd{S}=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\\
\dd{\tilde{S}}=\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}-\tilde{H}\dd{t}
\end{cases}
$$
的变换能够保持方程的正则性，因此该条件被称为正则变换条件 ，其中 $F=F(\underline{q},\underline{p},\underline{\tilde{q}},\underline{\tilde{p}},t)$ 被称为该变换的生成函数 。
这是因为，变换前后的作用量 $S,\tilde{S}$ 能分别导出 Hamilton's 方程，并且二者之差 $S-\tilde{S}=\left.F\right|_{t_1}^{t_2}$ 为不影响变分的常数。
将正则变换条件
$$
\dd{F}
=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}
-\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}
+(\tilde{H}-H)\dd{t}
$$
与全微分
$$
\dd{F}
=\pdv{F}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}}
+\pdv{F}{\underline{\tilde{q}}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}
+\pdv{F}{t}\dd{t}
$$
比较系数，可得第一种正则变换公式：
$$
\boxed{\underline{p}=\pdv{F}{\underline{q}}\qquad
\underline{\tilde{p}}=-\pdv{F}{\underline{\tilde{q}}}\qquad
\tilde{H}-H=\pdv{F}{t}}
$$
其中生成函数 $F$ 只依赖于 $\underline{q},\underline{p},t$ ；若要获得只依赖于 $\underline{q},\underline{\tilde{p}},t$ 的生成函数，则需对正则变换条件作 Legendre's 变换 ：
$$
\dd{\varPhi}\coloneqq\dd{(F+\underline{\tilde{p}}\cdot\underline{\tilde{q}})}
=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}
+\underline{\tilde{q}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}}
+(\tilde{H}-H)\dd{t}
$$
并与全微分
$$
\dd{\varPhi}
=\pdv{\varPhi}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}}
+\pdv{\varPhi}{\underline{\tilde{p}}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}}
+\pdv{\varPhi}{t}\dd{t}
$$
比较系数，由此得第二种正则变换公式：
$$
\boxed{\underline{p}=\pdv{\varPhi}{\underline{q}}\qquad
\underline{\tilde{q}}=\pdv{\varPhi}{\underline{\tilde{p}}}\qquad
\tilde{H}-H=\pdv{\varPhi}{t}}
$$
类似地，可得另外两种母函数及相应的正则变换公式：
$$
\dd{G}\coloneqq\dd{(F-\underline{p}\cdot\underline{q})}=-\underline{q}\cdot\dd{\underline{p}}-\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}+(\tilde{H}-H)\dd{t}
$$
$$
\boxed{\underline{q}=-\pdv{G}{\underline{p}}\qquad\underline{\tilde{p}}=-\pdv{G}{\underline{\tilde{q}}}\qquad\tilde{H}-H=\pdv{G}{t}}
$$
$$
\dd{\varPsi}\coloneqq\dd{(\varPhi-\underline{p}\cdot\underline{q})}=-\underline{q}\cdot\dd{\underline{p}}+\underline{\tilde{q}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}}+(\tilde{H}-H)\dd{t}
$$
$$
\boxed{\underline{q}=-\pdv{\varPsi}{\underline{p}}\qquad\underline{\tilde{q}}=\pdv{\varPsi}{\underline{\tilde{p}}}\qquad\tilde{H}-H=\pdv{\varPsi}{t}}
$$
【引理】真实运动所引起的正则共轭变量 $\underline{q},\underline{p}$ 的变化，可以看作一系列正则变换累加的结果。
Liouville's 定理 ：相空间中任意点集的测度不随这些点的（满足力学定律的真实）运动而变化。
给定两个依赖于 $(\underline{p},\underline{q})$ 的函数 $f(\underline{p},\underline{q}),g(\underline{p},\underline{q})$ ，它们的 Poisson 括号 是指
$$
\boxed{{f,g}\coloneqq\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\pdv{g}{\underline{q}}-\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\pdv{g}{\underline{p}}}
$$
于是 $f(\underline{p},\underline{q})$ 关于 $t$ 的全导数可以被改写为
$$
\dv{f}{t}
=\pdv{f}{t}+\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\underline{\dot{p}}+\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\underline{\dot{q}}
=\pdv{f}{t}-\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\pdv{H}{\underline{q}}+\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\pdv{H}{\underline{p}}
=\pdv{f}{t}+{H,f}
$$
⚠️ 某些文献将上述定义中的 $p,q$ 互换，所得结果与这里正好相差一个负号。这种差别不是实质性的，只要上下文保持一致即可。
$$
{f,g}={g,f}\qquad{f,1}=0
$$
$$
{f_1+f_2,g}={f_1,g}+{f_2,g}\qquad{f,g_1+g_2}={f,g_1}+{f,g_2}
$$
$$
{f_1f_2,g}=f_1{f_2,g}+{f_1,g}f_2\qquad{f,g_1g_2}=g_1{f,g_2}+{f,g_1}g_2
$$
$$
{f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}}=0
$$
$$
{f,q_i}=\pdv{f}{p_i}\qquad{p_i,f}=\pdv{f}{q_i}\qquad
{q_i,q_k}=0\qquad{p_i,p_k}=0\qquad{p_i,q_k}=\delta_{ik}
$$
定理 ：若 $f(\underline{p},\underline{q}),g(\underline{p},\underline{q})$ 均为运动积分，则 ${f,g}$ 亦为运动积分，即
$$
\left(\dv{f}{t}=0\right)\land\left(\dv{g}{t}=0\right)\implies\dv{}{t}{f,g}=0
$$
$$
{f,g}{\underline{p},\underline{q}}={f,g} {\underline{\tilde{p}},\underline{\tilde{q}}}
$$
$$
{\tilde{q}{i},\tilde{q} {k}}{\underline{p},\underline{q}}=0\qquad{\tilde{p} {i},\tilde{p}{k}} {\underline{p},\underline{q}}=0\qquad{\tilde{p}{i},\tilde{q} {k}}{\underline{p},\underline{q}}=\delta {ik}
$$
$$
\boxed{\frac{\partial S}{\partial t}+\mathopen{H}\left(\underline{q},\frac{\partial S}{\partial\underline{q}},t\right)=0}
$$