Correcciones menores

notas/02-flujo-basico-2.qmd

@@ -13,7 +13,7 @@ En esta parte veremos cómo continuaríamos refinando el modelo tomando
 en cuenta otros aspectos importantes del problema de estimar la seropositividad
 de una población.
 
-El primer aspecto importante es persistir **seguiendo el flujo de trabajo**. En
+El primer aspecto importante es persistir **siguiendo el flujo de trabajo**. En
 segundo lugar, este ejemplo ilustra que la construcción de modelos preferiblemente
 se hace de manera iterativa: una vez que probamos nuestro código, entendemos cómo
 funciona nuesto modelo, podemos continuar agregando componentes para hacerlo
@@ -48,7 +48,7 @@ digraph {
   node [shape=plaintext]
     N
     Npos [label = <N<SUB>+</SUB>>]
-    Nobs
+    Nobs [label = <N<SUB>obs</SUB>>]
     #Nneg [label = <N<SUB>-</SUB>>]
     #sens
     #esp
@@ -126,7 +126,8 @@ un positivo ahora es:
 $\theta_{obs} = P(Positivo | \theta, sens, esp) = \theta \cdot sens + (1-\theta) \cdot (1-esp)$
 
 Si llamamos a esta cantidad $\theta_{obs}$, de forma que dada una muestra
-de 0's y 1's, tenemos
+de 0's y 1's, tenemos que la verosimilitud de la muestra dada cada
+conjetura $\theta$, y con $sens$ y $esp$ fijas, es:
 
 $$p(D|\theta, sens, esp) = \theta_{obs}^{N_{+}}(1-\theta_{obs})^{N_{-}}$$
 Suponiendo que la distribución apriori de $\theta$ es uniforme, tenemos entonces
@@ -215,6 +216,8 @@ Ahora usamos histogramas por ejemplo para mostrar cómo luce la posterior,
 y comparamos con los valores de la simulación:
 
 ```{r}
+#| label: fig-apriori-falla
+#| fig-cap: "Verificación a priori"
 ggplot(simulacion_rep_error, aes(x = theta)) +
   geom_histogram(bins = 50) +
   labs(x = "theta", y = "Prob posterior") +
@@ -245,6 +248,8 @@ Ahora usamos histogramas por ejemplo para mostrar cómo luce la posterior,
 y comparamos con los valores de la simulación:
 
 ```{r}
+#| label: fig-apriori-falla
+#| fig-cap: "Verificación a priori fallida (modelo incorrecto)"
 ggplot(simulacion_rep, aes(x = theta)) +
   geom_histogram(bins = 50) +
   labs(x = "theta", y = "Prob posterior") +
@@ -378,8 +383,8 @@ datos_lista <- list(N = 3300, n = 50,
  kit_pos = 103, n_kit_pos = 122,
  kit_neg = 399, n_kit_neg = 401)
 ajuste <- mod_sc$sample(data = datos_lista, refresh = 1000)
-sims <- ajuste$draws(c("p", "sens", "esp"), format = "df")
-resumen <- ajuste$summary(c("p"))
+sims <- ajuste$draws(c("theta", "sens", "esp"), format = "df")
+resumen <- ajuste$summary(c("theta"))
 ```
 
 ```{r}
@@ -389,7 +394,7 @@ resumen |> select(variable, mean, q5, q95)
 Y podemos graficar la posterior de la seroprevalencia:
 
 ```{r, fig.width = 5, fig.height=3.5}
-ggplot(sims, aes(x = p)) + 
+ggplot(sims, aes(x = theta)) + 
   geom_histogram()
 ```
 
@@ -413,18 +418,6 @@ para explicar la prevalencia observada, pero si no pensamos con cuidado podríam
 concluir que los falsos positivos no deberían ser problema por que la especificidad
 para ser muy buena.
 
-
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 Y notamos que aún con una muestra relativamente grande, 
-el rango de $p$ es considerable: va desde valores cercanos a 0 hasta valores
+el rango de $\theta$ es considerable: va desde valores cercanos a 0 hasta valores
 alrededor de 0.025-0.03.

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@@ -701,7 +701,7 @@ ggplot(datos_graf, aes(x=theta, y = densidad, group = n)) +
 
 ---
 
-En este punto, podríamos pasar al siguiente paso, que es 
+En este punto, podríamos ir al siguiente paso, que es 
 escribir una función para calcular la posterior. En realidad ya
 sabemos su función de densidad, pero cualquier resumen que hagamos de esta
 distribución requerirá de integrales (¿por qué? piensa en cómo calcular la probabilidad
@@ -784,13 +784,23 @@ cuando $M\to \infty$. De este modo, podemos aproximar con la precisión que
 requiramos la integral $I$.
 :::
 
-**Nota importante**: 
-Notamos, sin embargo, que sin más información del proceso de simulación,
+**Nota 1**: Sin más información del proceso de simulación,
 no es posible *demostrar* que una aproximación es "suficientemente" buena, no
 importa que tan grande sea $M$. Más
 adelante veremos una batería de diagnósticos para al menos excluir los casos comunes
 en los que la aproximación es mala.
 
+**Nota 2**: En nuestro caso, las integrales de interés usualmente son de
+la forma
+$$I = \int f(\theta)p(\theta|D) d\theta,$$
+donde $D$ es la información de la muestra, $\theta$ es un vector de parámetros
+del modelo, y $f(\theta)$ es una función de $\theta$ que nos interesa. Por ejemplo,
+para la media posterior de $\theta_i$, usaríamos $f(\theta) = \theta_i$. Podemos
+aproximar cualquier integral si tenemos simulaciones de la posterior:
+
+$$\theta_i \sim p(\theta|D) \implies \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} f(\theta_i) \to I.$$
+
+---
 
 Finalmente, checamos todo nuestra construcción de estimación como hicimos
 arriba, la diferencia es que ahora usamos simulaciones para entender el comportamiento

notas/src/sclara.stan

@@ -8,15 +8,15 @@ data {
 }
 
 parameters {
-  real<lower=0, upper=1> p; //seroprevalencia
+  real<lower=0, upper=1> theta; //seroprevalencia
   real<lower=0, upper=1> sens; //sensibilidad
   real<lower=0, upper=1> esp; //especificidad
 }
 
 transformed parameters {
   real<lower=0, upper=1> prob_pos;
 
-  prob_pos = p * sens + (1 - p) * (1 - esp);
+  prob_pos = theta * sens + (1 - theta) * (1 - esp);
 
 }
 model {
@@ -26,7 +26,7 @@ model {
   kit_pos ~ binomial(n_kit_pos, sens);
   kit_neg ~ binomial(n_kit_neg, esp);
   // iniciales para cantidades no medidas
-  p ~ beta(1.0, 10.0);
+  theta ~ beta(1.0, 10.0);
   sens ~ beta(2.0, 1.0);
   esp ~ beta(2.0, 1.0);
 }