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\chapter*{Einleitung}\index{Einleitung}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung}\index{Einleitung}

\begin{addmargin}[2em]{2em}% 1em left, 2em right
  \textit{... as Sir Cyril Hinshelwood has observed ... fluid dynamicists
were divided into hydraulic engineers who observed things that
could not be explained and mathematicians who explained things
that could not be observed.} 
  \flushright(James Lighthill)
\end{addmargin}
\vspace{1.5cm}

Die akkurate Modellierung des Verhaltens \newton scher Fluide ist zentral für unzählige Anwendungen der Aerodynamik, Verbrennungsforschung oder chemischen Industrie.
Die Grundlage für die Modellierung bildet ein System partieller Differentialgleichungen, welches \navier\ und \stokes\ unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts einführten. 
Man bezeichnet dieses Gleichungssystem heute als \navier\hyp\stokes\hyp{}Gleichungen \cite[S.103ff.]{spurk10stroemungslehre}.
Sie umfassen im inkompressiblen dreidimensionalen Fall eine Gleichung zur Beschreibung der Massenerhaltung, die sogenannte Kontinuitätsgleichung, und für jede Raumrichtung eine Impulsgleichung:

\begin{align*}
  \div u &= 0, \\
  \frac{\partial u}{\partial t} - \nu \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla p &= f.
\end{align*}

Die Unbekannten in diesem Gleichungssystem sind der Geschwindigkeitsvektor $u = (u_1, u_2, u_3)$ und der Druck $p$.
Die Existenz und Eindeutigkeit klassischer glatter Lösungen dieses Gleichungssystems gehört nach dem \textsc{Clay}\hyp{}Institute zu einem der wichtigsten ungelösten mathematischen Probleme unseres Jahrtausends und ist daher in der Liste der Millennium Probleme zu finden \cite{clay}.

In der Lösungstheorie der \navier\hyp\stokes\hyp{}Gleichungen, aber auch partieller Differentialgleichungen im Allgemeinen, hat es sich als nützlich erwiesen, auf der Suche nach klassischen Lösungen einen Umweg einzuschlagen und zunächst die Existenz sogenannter schwacher Lösungen nachzuweisen.
In einem zweiten Schritt wird dann überprüft, ob die gefundenen schwachen Lösungen über zusätzliche Regularitätseigenschaften verfügen, welche die Existenz einer Lösung im klassischen Sinne garantieren.

Als nützliche Werkzeuge für die Lösungstheorie haben sich dabei Zerlegungen geeigneter Funktionenräume erwiesen. Die Idee dazu basiert auf einer von \helmholtz\ erstmals 1870 formulierten Zerlegung eines Vektorfeldes in ein skalares Potential und ein Vektorpotential \cite{helmholtz}.
Im Rahmen der Suche nach schwachen Lösungen im \hilbert\hyp{}Raum $L^2(\Omega)^n$, wobei $\Omega$ ein Teilgebiet des $\R^n$, $n \geq 2$, bezeichne, findet auch das in dieser Arbeit vorgestellte Hilfsmittel Verwendung: die \helmholtz\hyp{}Zerlegung des $L^2$.
Dabei handelt es sich um eine orthogonale Zerlegung des Lösungsraumes, welche es unter anderem ermöglicht den neben dem gesuchten Geschwindigkeitsfeld $u$ unbekannten Druck $p$ vorerst aus dem Gleichungssystem zu eliminieren und so die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren.
Die Anwendung der \helmholtz\hyp{}Zerlegung auf ein Element des Lösungsraumes zerlegt dieses in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil.

Ziel dieser Arbeit ist es, aufbauend auf den im Grundstudium vermittelten Kenntnissen der Funktionentheorie, Integrationstheorie und Funktionalanalysis, die Existenz und Eindeutigkeit der \helmholtz\hyp{}Zerlegung auf dem Raum $L^2(\Omega)^n$ zu beweisen.
Dabei orientieren sich Aufbau und Inhalt der Arbeit an den Kapiteln I und II des Werkes \emph{The Navier-Stokes Equations} von Hermann Sohr (\cite{sohr2001navier}).
Falls nicht anderes vermerkt wurde, stammen die vorgestellten Aussagen aus diesem Buch.

Das erste Kapitel stellt dazu die nötigen funktionalanalytischen Grundlagen bereit und führt in die in der Arbeit verwendete Notation ein.
Das Hauptaugenmerk dieses Kapitels liegt auf der Definition der schwachen Differenzierbarkeit und des Distributionsbegriffs.

Im zweiten Kapitel werden die zum Beweis der \helmholtz\hyp{}Zerlegung nötigen Hilfsaussagen bereitgestellt.
Das zentrale Resultat dieses Teils der Arbeit ist ein Kriterium, welches unter gewissen Bedingungen die schwache Lösbarkeit der Gradientengleichung $\nabla p = f$ sicherstellt.

Kapitel drei behandelt schließlich die \helmholtz\hyp{}Zerlegung $$L^2(\Omega)^n = L^2_\sigma(\Omega) \oplus G_2(\Omega)$$ und eine Charakterisierung dieser Zerlegung für den Fall, dass $\Omega = \R^n$ gilt.

Das letzte Kapitel fasst nochmals die zentralen Resultate zusammen und gibt einen Ausblick auf Problemstellungen, in denen die \helmholtz\hyp{}Zerlegung zum Einsatz kommt.