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<!DOCTYPE html>
<!-- Page principale du site donnant les bases de la conjecture de Syracuse -->
<html lang="fr">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Accueil | Projet NSI</title>
<link rel="shortcut icon" href="assets/icones/icon.png" type="image/x-icon">
<!-- Deux polices utilisées dans le site : 'Barlow' ; 'Quicksand' -->
<link href="https://fonts.googleapis.com/css2?family=Barlow&family=Quicksand:wght@300&display=swap" rel="stylesheet">
<link rel="stylesheet" href="css/styles.css">
<link rel="stylesheet" href="css/section/presentation.css">
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<!-- \(\) est équivalent à $$ en LaTex et \[\] à $$$$ -->
</head>
<body>
<header>
<nav>
<ul class="ensemble-lien">
<li><a href="index.html">Accueil</a></li>
<li><a href="src/voca.html">Vocabulaire</a></li>
<li><a href="src/simulateur.html">Simulateur</a></li>
<li><a href="src/tentatives-resolutions.html">Tentatives résolution</a></li>
</ul>
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</nav>
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<section class="accueil">
<div class="image-fond">
<img src="assets/accueil/accueil.png" alt="Fond d'écran de la page d'accueil, image d'expressions mathématiques">
</div>
<div class="contenu-accueil">
<h1>La conjecture de Syracuse</h1>
<a id="decouvrir" href="#link">Découvrir</a>
</div>
</section>
</header>
<main>
<!-- identifiant link qui sert à ramener à cette partie du site lorsque l'on clique sur le bouton découvrir de la page d'accueil -->
<h2 id="link">Énoncé et histoire du problème</h1>
<!-- Les sections de cette page possèdent deux classes pour les différencier des sections présentations de la page voca.html -->
<!-- On veut que seules les sections de cette page soient affectées par l'opacity (nécessaire à l'animation) définie dans styles.css -->
<section class="presentation index">
<figure>
<a href="assets/accueil/collatz.jpeg" target="_blank" rel="noopener noreferrer">
<img src="assets/accueil/collatz.jpeg" alt="Photo de Lothar Collatz, mai 1990">
</a>
<figcaption>Lothar Collatz, mai 1990</figcaption>
</figure>
<div class="texte-presentation">
<h3>Origines et énoncés de la conjecture </h3>
<p>
L'histoire de la conjecture de Syracuse remonte au début du XXe siècle, lorsque le mathématicien
allemand <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Lothar_Collatz" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Lothar Collatz</a>
a formulé cette énigme mathématique. Cette conjecture, bien que
relativement simple à comprendre, demeure l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en
mathématiques, et elle continue d'attirer l'attention des mathématiciens du monde entier.
L'énoncé de la conjecture de Syracuse est le suivant : la suite de Syracuse de n'importe quel entier
strictement positif atteint 1
<br>
Malgré sa simplicité apparente, la conjecture de Syracuse pose un défi mathématique intrigant, et
personne n'a encore pu prouver de manière concluante qu'elle est vraie pour tous les nombres. Cette
énigme continue d'inspirer des recherches et des explorations mathématiques, et elle demeure l'un
des mystères non résolus de la discipline.
</p>
</div>
</section>
<section class="presentation index">
<div class="texte-presentation">
<h3>Application de Syracuse</h3>
<p>
La conjecture de Syracuse repose sur une série d'opérations appliquée à un nombre entier strictement
positif.
Cette opération, appelée <span class="gras">application de Syracuse</span>, est définie ainsi :
<br><br>
- Prenez n'importe quel nombre entier strictement positif <br>
- S'il est pair, divisez-le par 2 <br>
- S'il est impair, triplez-le et ajoutez 1
<br><br>
Remarque : on note conventionnellement \(N\) le nombre de départ.
</p>
</div>
<figure>
<a href="assets/accueil/valeurs.png" target="_blank" rel="noopener noreferrer">
<img src="assets/accueil/valeurs.png" alt="Application de Syracuse successives pour N = 27">
</a>
<figcaption>Application de Syracuse successives pour \(N=27\)</figcaption>
</figure>
</section>
<section class="presentation index">
<figure>
<a href="assets/accueil/28.png" target="_blank" rel="noopener noreferrer">
<img src="assets/accueil/28.png" alt="Représentation graphique de la suite de Syracuse pour N = 28">
</a>
<figcaption>Représentation graphique de la suite de Syracuse pour \(N=28\)</figcaption>
</figure>
<div class="texte-presentation">
<h3>La suite de Syracuse</h3>
<p>
En itérant sur l'application de Syracuse, nous pouvons obtenir une suite appelée <span class="gras">suite de Syracuse</span>.
Cette suite se définit par récurrence.
\[\forall n\in \mathbb N :\quad u_{n+1}=
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
\displaystyle \frac{u_n}{2} & \text{Si } u_n \equiv 0 [2] \\
3u_n+1 & \text{Si } u_n \equiv 1[2]
\end{array}
\right.
\]
Avec \(N\in \mathbb N^*\quad ;\quad u_0=N\)
<br>
En prenant, par exemple, \(u_0=28\), la suite de Syracuse est la suivante
14 ; 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1.
<br>
1 étant impair, on le multiplie par 3 puis on ajoute 1 ce qui nous donne 4 qui est pair et que l'on
divise donc par 2 pour retomber sur 1...
Le cycle (4, 2, 1) se répète alors indéfiniment, on parle de <span class="gras">cycle trivial</span>.
</p>
</div>
</section>
<section class="presentation index">
<div class="texte-presentation">
<h3>La suite compressée de Syracuse</h3>
<p>
En observant la formule de la suite de Syracuse, on remarque que si \(u_n\) est impair,
\(u_{n+1}\) est nécessairement pair et sera donc divisé par deux lors de la prochaine opération.
Pour démontrer, considérons \(u_n\) impair :
\[u_n=2k+1\]
Avec \(k\) entier. Ainsi, par l'application de Syracuse
\[u_{n+1}=3u_n+1=3(2k+1)+1=6k+4=\underbrace{2(3k+2)}_{\text{de la forme } 2k', \; k'=3k+2}\]
Nous pouvons donc définir une variante de la suite de Syracuse appelée <span class="gras">Suite compressée de Syracuse</span>.
\[\forall n\in \mathbb N :\quad u_{n+1}=
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
\displaystyle \frac{u_n}{2} & \text{Si } u_n \equiv 0[2] \\
\dfrac{3u_n+1}{2} & \text{Si } u_n \equiv 1[2]
\end{array}
\right.
\]
Avec \(N\in \mathbb N^*\quad ;\quad u_0=N\)
</p>
</div>
<figure>
<a href="assets/accueil/28compressee.png" target="_blank" rel="noopener noreferrer">
<img src="assets/accueil/28compressee.png" alt="Représentation graphique de la suite compressée de Syracuse pour N = 28">
</a>
<figcaption>Représentation graphique de la suite compressée de Syracuse pour \(N=28\)</figcaption>
</figure>
</section>
<!-- Importation du fichier qui gère l'anim au scroll sur la page-->
<script src="js/anim.js"></script>
</main>
<footer>
<div class="contenu-footer">
<!-- Page vers mes sources et ma présentation -->
<p>© <a href="src/infos.html">Enis Béziau 1H</a></p>
<ul class="reseau">
<li><a href="https://github.com/enisbeziau/Syracuse-NSI" target="_blank" rel="noopener noreferrer">GitHub</a></li>
<li><a href="mailto:enislycee@gmail.com" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Gmail</a></li>
<li><a href="http://bit.ly/LMB_1H" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Drive</a></li>
</ul>
</div>
</footer>
</body>
</html>