-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathchapterthinwalledrods.tex
249 lines (147 loc) · 9 KB
/
chapterthinwalledrods.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
\en{\chapter{Thin\hbox{-}walled rods}}
\ru{\chapter{Тонкостенные стержни}}
\thispagestyle{empty}
\label{chapter:thinwalledrods}
\en{\section{Variational approach}}
\ru{\section{Вариационный подход}}
\dropcap{\en{I}\ru{В}}{\en{n}\ru{\hspace{-0.2ex}}} \customref[\en{chapter}\ru{главе}~]{chapter:rods}\en{,} \ru{были описаны }\en{rods}\ru{стержни} \en{with massive cross-sections}\ru{с~массивными сечениями}\en{ were described}.
\en{But other rods are also widely used}\ru{Но широко используются и~иные стержни}\:--- \en{thin\hbox{-}walled ones}\ru{тонкостенные}, \en{with sections}\ru{с~сечениями} \en{of narrow bands}\ru{из узких полосок} \en{of various shapes}\ru{разных очертаний}: \en{corner}\ru{уголок}, Z\hbox{-}\en{beam}\ru{балка}, \en{channel}\ru{швеллер}~(C\hbox{-}\en{beam}\ru{балка}), \en{I\hbox{-}beam}\ru{двутавр}, ...
\en{If rods are like lines}\ru{Если стержни похожи на~линии}, \en{then}\ru{то} \en{in a~thin-walled rod}\ru{в~тонкостенном стержне} \ru{сам\'{о} сечение}\en{the section itself} \en{also looks like line}\ru{тоже выглядит как~линия}.
\en{The three dimensions}\ru{Три размера}\:--- \en{the thickness and the length of a~section}\ru{толщина и~длина сечения}, \en{as well as}\ru{а~также} \en{the length of a~rod}\ru{длина стержня}\:--- \en{have different decimal orders}\ru{имеют разные десятичные порядки}.
%%(\ru{материальные линии }Cosserat\en{ material lines})
\en{The applied theories of thin-walled rods are known}\ru{Известны прикладные теории тонкостенных стержней}, \en{they are described}\ru{они описаны}, \en{for example}\ru{например}, \en{in books}\ru{в~книгах} ...
\en{There is also the exact theory}\ru{Есть также точная теория}, \en{based on asymptotic splitting}\ru{основанная на асимптотическом расщеплении} \en{of the three-dimensional problem}\ru{трёхмерной проблемы}~\cite{eliseev-models}.
\en{In sum}\ru{В~итоге}, \en{the complex asymptotic analysis}\ru{сложный асимптотический анализ} \en{confirmed}\ru{подтвердил} \en{most of the hypotheses}\ru{большинство из гипотез} \en{of applied theories}\ru{прикладных теорий}.
\en{As introduction to the mechanics of thin-walled rods}\ru{Как введение в~механику тонкостенных стержней}, \en{here is}\ru{вот} \en{the following variational procedure}\ru{следующая вариационная процедура} \en{with warping (deplanation) of cross-sections}\ru{с~искажением (депланацией) поперечных сечений}.
\begin{otherlanguage}{russian}
\en{Consider}\ru{Рассмотрим} \en{the simplest case of a~cylindrical rod}\ru{простейший случай цилиндрического стержня} \en{with a~thin, simply connected section}\ru{с~тонким односвязным сечением} \textcolor{blue}{(... рисунок ...)}.
Площадь сечения $do$, боковая поверхность свободна, нагрузка в~объёме\:--- $\bm{f}$, на~торце ${z \narroweq z_{1}}$ известны поверхностные силы ${\bm{p}(\bm{x})}$ (${\bm{x} \narroweq x_{\alpha}\bm{e}_{\alpha}}$), торец ${z \narroweq z_{0}}$ закреплён.
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Equations with small parameter}}
\ru{\section{Уравнения с малым параметром}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрим призматический стержень с~односвязным сечением в~виде тонкой криволинейной полоски постоянной толщины~$h$. Радиус\hbox{-}вектор в~объёме предст\'{а}вим следующим образом:
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{First step of the asymptotic procedure}}
\ru{\section{Первый шаг асимптотической процедуры}}
\begin{otherlanguage}{russian}
\subsection*{\en{Outer decomposition}\ru{Внешнее разложение}}
Из~системы
...
\subsection*{\en{Inner decomposition near}\ru{Внутреннее разложение вблизи}~$s_0$}
Выпишем уравнения для
...
\subsection*{\en{Coalescence}\ru{Сращивание}}
Стыковка внутреннего и~внешнего разложений
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Second step}}
\ru{\section{Второй шаг}}
\begin{otherlanguage}{russian}
\subsection*{\en{Outer decomposition}\ru{Внешнее разложение}}
Из~системы
...
\subsection*{\en{Inner decomposition near}\ru{Внутреннее разложение вблизи}~${s \narroweq s_0}$}
Из~общей системы
...
\subsection*{\en{Coalescence}\ru{Сращивание}}
Поскольку рассматриваются поправочные члены асимптотических разложений
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Third step}}
\ru{\section{Третий шаг}}
\begin{otherlanguage}{russian}
\subsection*{\en{Outer decomposition}\ru{Внешнее разложение}}
Из~системы
....
\subsection*{\en{Inner decomposition around}\ru{Внутреннее разложение около}~${s \narroweq s_0}$}
Как уж\'{е} отмечалось, внутренние разложения нужны для постановки краевых условий на~концах
...
\subsection*{\en{Coalescence}\ru{Сращивание}}
В~плоской задаче имеем следующее двучленное внешнее разложение:
....
\end{otherlanguage}
\en{\section{Fourth step}}
\ru{\section{Четвёртый шаг}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Здесь понадобится лишь внешнее разложение. Более того: в~этом приближении мы не~будем искать решения уравнений\:--- будет достаточно лишь условий разрешимости. Напомним, что философия наша такова: разыскиваются лишь главные члены асимптотических разложений, но для~полного их определения могут понадобиться
...
\end{otherlanguage}
\section{\en{Displacements}\ru{Смещения}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Расписывая тензорное соотношение
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Results of asymptotic analysis}}
\ru{\section{Результаты асимптотического анализа}}
% Итоги асимптотического анализа
\begin{otherlanguage}{russian}
Нахождение главных членов асимптотики
\en{of~stresses}\ru{напряжений}
\en{and}\ru{и}~\en{displacements}\ru{смещений}
для~тонкостенных стержней
оказалось
намного сложнее,
чем для массивных сечений.
Дадим сводку полученных выше итоговых результатов.
Смещение:
\begin{equation}
\withtheindexofperpendicularity{\fieldofdisplacements}
=
\lambda^{-4}
\bigl(
\withtheindexofperpendicularity{\bm{U}} (z)
+
\theta (z) \bm{k} \times \bm{r}
\bigr)
+
\hspace{-0.1ex} \scalebox{.9}{$
\infty^{\hspace{-0.4ex}\expminusone}
$}(\lambda^{-3})
\hspace{.1ex} ,
\end{equation}
%
\begin{equation}
\fieldofdisplacementscomponents{z}
=
\lambda^{-3}
\bigl(
{}- \withtheindexofperpendicularity{\mathdotabove{\bm{U}}}
\dotp
\bm{r}
+
\mathdotabove{\theta}
\omega (s)
+
U_z (z)
\bigr)
+
\hspace{-0.1ex} \scalebox{.9}{$
\infty^{\hspace{-0.4ex}\expminusone}
$}(\lambda^{-2})
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
Напряжения:
...
\end{otherlanguage}
\vspace{8mm}
\hfill\begin{minipage}[b]{0.95\linewidth}
\fontsize{10}{12}\selectfont
\section*{\wordforbibliography}
\begin{otherlanguage}{russian}
Помимо книг
В.\,З.\;Власов’а~\cite{vlasov-thinwalledrods},
Г.\,Ю.\;Джанелидзе и~Я.\,Г.\;Пановко~\cite{janelidzepanovko-thinwalledrods},
отметим
статью
Я.\,Г.\;Пановко и~Е.\,А.\;Бейлина~\cite{panovko.beylin-thinwalledrods}.
Материал этой главы содержится
в~диссертации
Владимира~В.\;Елисеева~\cite{eliseev-models},
там также есть обширный список статей
на тему
тонкостенных стержней.
\end{otherlanguage}
\end{minipage}