线性代数的本质这个课程我大概已经完整的看过两遍以上了，但是当我想要找找当年的笔记，去回顾回顾里面的直观的动画时，发现已经基本上对里面的内容完全忘光了。
目前仅仅有一些笔记的记录，后续可能会上传一些动图的展示，看个人的时间吧。
回顾几个本质性的动画：
- chapter3: 二维矩阵 $$\begin{pmatrix}a & b\ c &d\end{pmatrix}$$实际上就是一个坐标系的变换：原来的横坐标$$\hat{i} = \begin{pmatrix} 1\ 0 \end{pmatrix}$$ 变换为$$\begin{pmatrix} a\ c \end{pmatrix}$$。纵坐标$$\hat{j}$$同理。
- chapter4: 二维矩阵的乘法实际上就是一系列坐标系变换。
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chapter5: 二维行列式的值实际上就是带有方向的向量围成的面积，同理三维的表示体积。
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chapter6: $$ Ax=b $$要有解必须$$det(A)\ne 0$$，原因是若为0，那么就会将二维的坐标压成一条直线，或者是原点，那么若压成一条直线与$$b$$不同方向，那么肯定是无解的。
当然$$Ax=0$$想要有非0解必须$$det(A) = 0$$，原因很形象，若不为0，那么显然A可逆，对应的变换唯一，只能是0向量。只有为$$det(A)=0$$，才会使二维的向量压缩到一维，那么，才会有非零解向量压缩到零向量。
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chapter7: 点积的直观解释 $$ \begin{bmatrix} a\ b \end{bmatrix}· \begin{bmatrix} y\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix} = ax+by $$ 其中$$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$$看成是$$\hat{i} 和 \hat{j}$$从二维的向量投影到一维的数轴的坐标。$$\begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix}$$实际上也是往数轴上进行投影。
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chapter8: 叉积
二维的叉积就是矩阵行列式的值。
三维叉积是一个向量，大小为围成的面积，方向根据右手定则进行确定。
定义下面的运算： $$ \begin{bmatrix} p_1\ p_2\ p_3 \end{bmatrix}·\begin{bmatrix} x\ y\ x \end{bmatrix} = det(\begin{pmatrix} x & v_1 & w_1\ y & v_2 & w_2\ z & v_3 & w_3 \end{pmatrix}) $$ 等式的右边就是一个立方体的体积，三条边就是竖着的三个向量。那么体积怎么算呢？就是$$\overrightarrow{v}$$和$$\overrightarrow{w}$$构成的四边形面积*x向量在高度上的投影长度。
我们之前知道__点积其实就是投影长度的积__。
那么很显然，p长度就是$$\overrightarrow{v}$$和$$\overrightarrow{w}$$构成四边形面积大小，方向与平面垂直。
至于具体怎么计算，则 $$ \overrightarrow{p} = \begin{pmatrix} \overrightarrow{i} & v_1 & w_1\ \overrightarrow{j} & v_2 & w_2\ \overrightarrow{k} & v_3 & w_3 \end{pmatrix} $$
- chapter9: 基变换
至于为什么$$x$$是变化后坐标系的视野，根据前面的运算： $$ \begin{pmatrix} a & b\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} = x*\begin{pmatrix} a\ c \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} b\ d \end{pmatrix} $$ $$\begin{pmatrix} a\ c \end{pmatrix}$$和$$\begin{pmatrix} b\ d \end{pmatrix}$$分别是新的__基底__，那么（x, y）就是新坐标视野下的坐标。
- chapter10：特征向量和特征值
就是找到那么坐标变换后方向没有改变的向量，对应的特征值就是变化后的放缩值。
注意如何使用该特性对任意的矩阵进行幂运算。