diff --git a/content/All-In-One.md b/content/All-In-One.md new file mode 100644 index 0000000..0a60c76 --- /dev/null +++ b/content/All-In-One.md @@ -0,0 +1,65 @@ +--- +tags: + - Ottimizzazione +--- + +# Programmazione Lineare + + +![[Problemi di Ottimizzazione]] + +![[Metodo Grafico per la programmazione Lineare]] + +![[Geometria della programmazione lineare]] + +![[Algebra della programmazione lineare]] + +![[Metodo del Simplesso]] + +![[Convergenza del Metodo]] + +![[Metodo delle Due Fasi]] + +![[Dualità]] + +![[Tabella Primale Duale]] + +![[Scarti Complementari]] + +![[Simplesso Duale]] + +--- +# Programmazione Lineare Intera + + +![[Problemi di Ottimizzazione Lineare Intera]] + +![[Problema del trasporto]] + +![[Problema dell'assegnamento]] + + ![[Metodo dei piani di taglio]] + + ![[Metodo dei Tagli di Gomory]] + + ![[Metodo del Branch and Bound]] + + ![[Problema dello Zaino]] + + ![[Problema dell'assegnamento]] + + ![[Algoritmo Ungherese]] + +![[Problema del Commesso viaggiatore]] + +--- +# Programmazione Non Lineare + + + ![[Programmazione Non Lineare]] + + ![[Condizioni di Ottimalità]] + + ![[Condizioni KKT]] + +![[Schema Condizioni Ottimalità]] diff --git a/content/Attachments/Pasted image 20240214193341.png b/content/Attachments/Pasted image 20240214193341.png new file mode 100644 index 0000000..e5e3fe9 Binary files /dev/null and b/content/Attachments/Pasted image 20240214193341.png differ diff --git a/content/Condizioni KKT.md b/content/Condizioni KKT.md index e7810f1..cc25edb 100644 --- a/content/Condizioni KKT.md +++ b/content/Condizioni KKT.md @@ -2,3 +2,17 @@ tags: - Ottimizzazione/PNL --- +## Condizioni di ottimalità del primo ordine-KKT + + +> [!tldr] Teorema: Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker +> + + +> [!def] Funzione Lagrangiana +> + + +## Schema Condizioni Ottimalità + +## Problema Convesso \ No newline at end of file diff --git "a/content/Condizioni di Ottimalit\303\240.md" "b/content/Condizioni di Ottimalit\303\240.md" index e7810f1..f3a6152 100644 --- "a/content/Condizioni di Ottimalit\303\240.md" +++ "b/content/Condizioni di Ottimalit\303\240.md" @@ -2,3 +2,45 @@ tags: - Ottimizzazione/PNL --- +# Condizioni Necessarie e Sufficienti + +- **Una condizione necessaria** puo servire a restringere l'insieme di punti in cui cercare la soluzione e a costruire algoritmi che soddisfano la condizione necessaria. + +- **Una condizione sufficiente** puo servire a dimostrare che un punto ottenuto per via numerica sia una soluzione ottima +## Condizione Necessaria del Primo Ordine + + +> [!tldr] Teorema +> Sia $x^\star$ un punto di minimo locale. Se $f$ è differenziabile in $x^\star$, allora in $\nabla f(x^\star)=0$ + +La condizione necessaria fornisce i punti stazionari candidati ad essere punti minimali. + +Se il problema è [[Condizioni KKT#Problema Convesso|convesso]], la condizione diventa necessaria e sufficiente. + +## Condizione Sufficiente del Secondo Ordine + + +> [!tldr] Teorema +> Sia $x^\star$ un punto di minimo locale. Se $f$ è differenziabile **due volte** in $x^\star$, allora in $\nabla f(x^\star)=0$ e la matrice hessiana $H(x^\star)$ è semidefinita positiva + +## Condizione Necessaria del Secondo Ordine + +Sia $x^0$ un punto interno della regione ammissibile e $\nabla f(x^0)=0$, e $f$ differenziabile due volte in $x^0$: + +- Se la matrice hessiana è definita positiva, allora $x^0$ è punto di minimo locale; +- Se la matrice hessiana è definita negativa allora $x^0$ è punto di massimo locale; +- Se la matrice hessiana è indefinita, allora $x^0$ è un punto di sella +- Se la matrice hessiana è semidefinita non si può dire niente + +### Regolarità dei vincoli di uguaglianza + +## Condizione di Ottimalità del primo ordine + +### Forma Equivalente + + +> [!def] Funzione Lagrangiana +> $L(x,\lambda)=f(x)+\lambda^Th(x)$ + + + diff --git a/content/Programmazione Non Lineare.md b/content/Programmazione Non Lineare.md new file mode 100644 index 0000000..9e8312f --- /dev/null +++ b/content/Programmazione Non Lineare.md @@ -0,0 +1,47 @@ +--- +tags: + - Ottimizzazione + - Ottimizzazione/PNL +--- +# Programmazione non lineare + +Nei problemi di ottimizzazione non lineare la funzione obiettivo e/o le funzioni dei vincoli sono non lineari. +Esistono alcuni problemi non lineari che possono essere trasformati in problemi lineari + +In generale però, i problemi non lineari restano tali e si affrontano con determinati metodi. +Possono essere di due tipi: + +- Se $X = \mathbb{R}^n$ il problema si dice non vincolato. +- Se $X= \{ x \in \mathbb{R}^n:g_{i}(x)\leq 0,\ i=1,\dots,m;h_{j}(x)=0, j=1,\dots,p \}$ Il problema si dice vincolato: + + + +Si pone sempre $p\leq n$, altrimenti l'insieme potrebbe risultare vuoto, oppure potrebbero esserci vincoli ridondanti. + + +I problemi non vincolati sono problemi in cui effettivamente l’insieme ammissibili coincide con tutto lo spazio. + +Nelle applicazioni sono considerati non vincolati i problemi con insieme ammissibile aperto. + +In tal caso infatti i punti di ottimo sono interni e possono essere caratterizzati solo dall’andamento della funzione obiettivo. + +## Problemi non vincolati + +Sia dato un problema di PNL non vincolata: + +$$ +\begin{align} +min f(x) \\ +x \in \mathbb{R}^n +\end{align} +$$ + +Una soluzione locale $x^\star$ deve soddisfare una condizione necessaria di ottimalità. Si osserva che i punti che soddisfano una condizione necessaria di ottimalità non sono forzatamente soluzioni del problema: potrebbero ad esempio essere di max e non di minimo + +![[Condizioni di Ottimalità]] + +## Problemi con vincoli di uguaglianza e disuguaglianza + +## Regolarità dei vincoli + +![[Condizioni KKT]] \ No newline at end of file diff --git "a/content/Schema Condizioni Ottimalit\303\240.md" "b/content/Schema Condizioni Ottimalit\303\240.md" new file mode 100644 index 0000000..074ae0a --- /dev/null +++ "b/content/Schema Condizioni Ottimalit\303\240.md" @@ -0,0 +1,8 @@ +--- +tags: + - Ottimizzazione + - Ottimizzazione/PNL +--- +![[Pasted image 20240214193341.png]] + +da sostituire \ No newline at end of file diff --git a/content/index.md b/content/index.md index 21ac430..8288ddb 100644 --- a/content/index.md +++ b/content/index.md @@ -30,7 +30,7 @@ Questa pagina funge da indice. - [[Problemi di Ottimizzazione Lineare Intera]] - [[Problema del trasporto]] -wip -- [[Problema dell'assegnamento]] -wip +- [[Problema dell'assegnamento]] - [[Metodo dei piani di taglio]] - [[Metodo dei Tagli di Gomory]] - [[Metodo del Branch and Bound]] @@ -42,9 +42,13 @@ Questa pagina funge da indice. ## Programmazione Non Lineare --- +- [[Programmazione Non Lineare]] - [[Condizioni di Ottimalità]] - [[Condizioni KKT]] +- [[Schema Condizioni Ottimalità]] - [[Metodi risolutivi per l'ottimizzazione vincolata e non vincolata]] + - [[Metodo di Newton]] + - [[Discesa del Gradiente]]   @@ -54,3 +58,6 @@ Tags per ricerca veloce: - #Ottimizzazione/PNL - #Ottimizzazione/Simplesso - #Ottimizzazione/Dualita + +Pagina All-in-One per ripasso veloce: +- [[All-In-One]]