FINE PLI

content/Ciclo Hamiltoniano.md

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+tags:
+  - Ottimizzazione
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+Si ha un ciclo hamiltoniano **quando in un cammino hamiltoniano esiste un arco che collega l'ultimo vertice con il primo, realizzando così un ciclo che visita tutti i vertici per poi ritornare al punto di partenza**.

content/Problema del Commesso viaggiatore.md

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   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+## Branch and Bound per il problema del TSP Asimmetrico
+
+Sia dato un grafo $G=(N,A)$ orientato, il problema del commesso viaggiatore (TSP) consiste nel determinare un [[Ciclo Hamiltoniano]] di costo minimo.
+
+![[Ciclo Hamiltoniano]]
+
+Quindi, assegnati dei costi agli archi, si vuole determinare il ciclo che tocchi ogni nodo di G una e una sola volta e che abbia costo minimo
+
+## Formulazione Matematica TSP
+
+$$
+x_{ij} =
+\begin{cases}
+\ 1  & \text{arco }(i,j) \text{ appartiene al ciclo hamiltoniano} \\
+\ 0 & \text{altrimenti}
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+\begin{align}
+min \displaystyle& \sum_{(i,j)\in A}c_{j}x_{j} \\
+& \displaystyle\sum_{(i,v)\in A}x_{iv}=1 & \text{In ogni nodo v entra un solo arco} \\
+& \displaystyle\sum_{(v,j)\in A}x_{vj}=1 & \text{Da ogni nodo v esce un solo arco} \\
+& \displaystyle\sum_{i,j \in S}x_{ij}\leq |S|-1, \forall S \subseteq N, 2\leq |S|\leq |N|-1 & \text{Vincolo assenza sottocicli} \\
+ \\
+
+& x_{ij} \in \{ 0,1 \} \\
+\end{align}
+$$
+
+Per applicare il [[Metodo del Branch and Bound]] al TSP dobbiamo capire, anche qui:
+
+- Come ottenere l'upper bound
+- Come fare branching
+- Come ottenere un lower bound
+
+Troviamo un lower bound, eliminando i vincoli sui sottocicli.
+
+Così otteniamo il [[Problema dell'assegnamento]].
+
+L'assegnamento si opera sul **grafo bipartito completo** che si ottiene duplicando i nodi di G.
+
+Se l'assegnamento dà un ciclo hamiltoniano, abbiamo la soluzione del TSP.
+
+Altrimenti, vuol dire che ci sono dei sottocicli $\to$ Li possiamo usare per il branching. La dimensione del branching sarà pari alla cardinalità minima dei sottocicli.
+
+Dalla soluzione dell'assegnamento, prendiamo il sottociclo di cadinalità minima e generiamo tanti problemi quanti sono gli archi di tale sottociclo.
+
+## Regola Generale TSP
+
+Dato il sottociclo $((i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\dots,(i_{k},j_{k}))$
+
+Si generano i vincoli di branching imponendo per il primo figlio $x_{i_{1},j_{1}}$, per il secondo figlio $x_{i_{1},j_{1}}=1\ ; \ x_{i_{2}j_{2}}=0$, e così via fino al figlio k-esimo, per il quale tutti i precedenti saranno 1 e per se stesso 0.
+
+Imporre che $x_{i_{1}j_{1}}=0$ vuol dire richiedere che nella matrice dei costi $c_{i_{1}j_{1}}=+\infty$
+
+## Upper Bound
+
+Si determina con l'algoritmo del nodo più vicino.
+
+Si parte dal primo nodo e si cerca il nodo successivo connesso con costo minimo.
+
+Esaminati tutti i nodi si trova un ciclo hamiltoniano.