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<title>Mathematik</title>
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<title>Kompetenzentwicklung im Fach Mathematik</title>
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<id>C-MA-1-1</id>
<title>Ziele des Unterrichts</title>
<content>
altersgerechte Auseinandersetzung mit Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Sichtweisen. Der Mathematikunterricht befähigt die Schülerinnen und Schüler, ausgehend von ihren mathematischen Vorerfahrungen Zusammenhänge zu erkunden, Strukturen zu untersuchen, Beziehungen zwischen Begriffen aufzudecken, Vorgehensweisen und Darstellungsformen zu finden und begründet auszuwählen. Damit werden die Grundlagen für strukturiertes Denken und für die lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens und der Berufswelt gelegt sowie Anknüpfungspunkte für weiteres, nach-haltiges Lernen im Fach Mathematik geschaffen.
Ziel des Unterrichts ist die Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sich in drei Schwerpunkte gliedern lassen:
Die Schülerinnen und Schüler nehmen natürliche, technische, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahr, erforschen sie, setzen sich mit ihnen auseinander und beurteilen sie unter Nutzung mathematischer Aspekte.
Die Schülerinnen und Schüler erkennen Mathematik mit ihrer fachspezifischen Sprache, ihren Symbolen, Bildern, Darstellungen und Formeln als ein eigenes, geordnetes Konzept und nutzen sie, um mathematische Aufgaben zu beschreiben und zu bearbeiten.
Die Schülerinnen und Schüler befassen sich mit spezifisch mathematischen und alltäg-lichen Problemen, setzen sich mit ihnen kreativ und zunehmend selbstbestimmt auseinander und entwickeln dadurch auch über die Mathematik hinausgehende, nützliche heuristische Fähigkeiten.
Diese drei Schwerpunkte müssen in der gesamten Schulzeit im Mathematikunterricht berücksichtigt werden.
Im Mathematikunterricht der Grundschule erwerben die Schülerinnen und Schüler die grund-legenden Kompetenzen der mathematischen Allgemeinbildung. Damit werden die Voraus-setzungen für weiteres Lernen in den Bildungsgängen der Sekundarstufen und für die lebens-lange, erfolgreiche Auseinandersetzung mit mathematikhaltigen Anforderungen geschaffen.
Für die Einbettung der Mathematik in die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler sind Alltagsbezüge und andere Verknüpfungen mit der realen Welt (Kontexte) in allen Phasen des Unterrichts bedeutsam. Bei der Auswahl von Kontexten sind auch die vielfältigen Interessen von Kindern und Jugendlichen zu berücksichtigen. Die Auseinandersetzung mit den Kontexten bietet verstärkt die Möglichkeit, Sprach-, Medien- und Verbraucherbildung zu fördern. Die Vermittlung von Strategien zum Lesen von kontextbezogenen Aufgaben und Fachtexten ist ein Schwerpunkt eines sprachsensiblen und differenzierten Mathematikunterrichts.
Der Aufbau der mathematischen Kompetenzen erfolgt spiralförmig und greift immer wieder auf vorhandene Vorstellungen zurück. Das Ziel ist ein verständnisorientierter Erwerb von mathematischen Begriffen und Verfahrensweisen. Tragfähige Vorstellungen sind die Basis für erfolgreiches mathematisches Lernen. Sie sind keine Sammlung von einzelnen Begriffen, Werkzeugen und Ideen, sondern führen zur Ausbildung eines Netzes, das sich durch Erweiterung von bewährten und durch Zugewinn von neuen Vorstellungen zu einem immer leistungsfähigeren System subjektiver Erfahrungsbereiche, Handlungsvorstellungen und Erklärungsmodelle entwickelt.
Fehlende oder unvollständige Vorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien können beispielsweise eine Ursache für Rechenschwierigkeiten und Verständnislücken sein, denen man frühzeitig präventiv entgegenwirken sollte. Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnen können zwar oft mithilfe von konkreten Materialen eine Handlung durchführen, diese jedoch nicht beschreiben. Hierzu ist eine besondere Unterstützung durch die Lehrkraft erforderlich,
z. B. durch die fortlaufende Anregung der Lernenden zum Sprechen über mathematische Strukturen und Handlungen. Dadurch wird eine Grundlage für das mathematische Operieren in der Vorstellung gelegt.
Zur Diagnose von Lernvoraussetzungen sind individuelle Lernstandserhebungen und der Einsatz diagnostischer Aufgaben notwendig. Die Analyse der Ergebnisse bietet die Grundlage für eine differenzierte Unterrichtsplanung und für entsprechende Lernangebote. Dazu sind passende Aufgaben erforderlich. Unterschiedliche Kenntnisse und Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler erfordern Aufgabenformate, die hinsichtlich ihrer Anforderungen und Bearbeitungsmöglichkeiten variiert werden können. Differenzierte Aufgabenstellungen ermöglichen individuelle Lösungen auf unterschiedlichen Niveaus. Zusätzlich ist eine Unterscheidung zwischen Aufgaben zum Initiieren von Lernprozessen (Lernaufgaben) und Aufgaben zum Überprüfen des Leistungsstandes (Leistungsaufgaben) erforderlich.
Die Art und Weise, wie den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit gegeben wird, sich mit mathematischen Fragen auseinanderzusetzen, ist entscheidend dafür, dass eine positive Grundhaltung zum Fach aufgebaut werden kann. Die Schülerinnen und Schüler werden durchgängig ermutigt, in die Mathematik forschend vorzudringen und lebendig und phantasievoll mit mathematikhaltigen Problemen umzugehen. Forschend-entdeckendes Lernen ermöglicht es dabei in besonderem Maße, Fragen zu entwickeln und zu stellen, verschiedene Lern- und Lösungsstrategien zu entwickeln und anzuwenden sowie selbsttätig neue Inhalte und Zusammenhänge zu erschließen. In vielfältiger Weise werden dabei Kompetenzen erworben bzw. weiterentwickelt und mit dem Vorwissen in Beziehung gesetzt. Diese Herangehensweise an mathematische Fragestellungen wird genutzt, um den Lernenden Gelegenheit zu geben, Handlungskompetenz und ein immer tieferes Verständnis für mathematische Zusammenhänge zu erwerben.
Dem Üben und Vertiefen kommt im Fach Mathematik eine wichtige Rolle zu, um sicheres und vernetztes Wissen zu erhalten. Produktives Üben dient der Vertiefung von Einsichten, der Geläufigkeit und geistigen Beweglichkeit. Automatisierendes Üben festigt das Grundwissen und basiert auf einem sicheren Verständnis der zu übenden Begriffe und Verfahren. Dabei bezieht sich das Üben nicht nur auf die letzte Phase des Aneignungsprozesses, sondern alle Phasen des Unterrichts sollten Anteile von Übung und Wiederholung enthalten. Das Üben von Fertigkeiten, das Reflektieren von Begriffen, das Untersuchen von Strukturen, das Lösen von Problemen – all dies kann in Übungsaufgaben angesprochen werden. Bei der Gestaltung von Übungen ist eine angemessene Individualisierung erforderlich, die die unterschiedlichen Fähigkeiten der Lernenden berücksichtigt. Schülerinnen und Schüler werden dabei zunehmend befähigt, eigenverantwortlich zu üben.
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<subtext>
<id>C-MA-1-2</id>
<title>1.2 Fachbezogene Kompetenzen</title>
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altersgerechte Auseinandersetzung mit Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Sichtweisen. Der Mathematikunterricht befähigt die Schülerinnen und Schüler, ausgehend von ihren mathematischen Vorerfahrungen Zusammenhänge zu erkunden, Strukturen zu untersuchen, Beziehungen zwischen Begriffen aufzudecken, Vorgehensweisen und Darstellungsformen zu finden und begründet auszuwählen. Damit werden die Grundlagen für strukturiertes Denken und für die lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens und der Berufswelt gelegt sowie Anknüpfungspunkte für weiteres, nach-haltiges Lernen im Fach Mathematik geschaffen.
Ziel des Unterrichts ist die Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sich in drei Schwerpunkte gliedern lassen:
Die Schülerinnen und Schüler nehmen natürliche, technische, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahr, erforschen sie, setzen sich mit ihnen auseinander und beurteilen sie unter Nutzung mathematischer Aspekte.
Die Schülerinnen und Schüler erkennen Mathematik mit ihrer fachspezifischen Sprache, ihren Symbolen, Bildern, Darstellungen und Formeln als ein eigenes, geordnetes Konzept und nutzen sie, um mathematische Aufgaben zu beschreiben und zu bearbeiten.
Die Schülerinnen und Schüler befassen sich mit spezifisch mathematischen und alltäg-lichen Problemen, setzen sich mit ihnen kreativ und zunehmend selbstbestimmt auseinander und entwickeln dadurch auch über die Mathematik hinausgehende, nützliche heuristische Fähigkeiten.
Diese drei Schwerpunkte müssen in der gesamten Schulzeit im Mathematikunterricht berücksichtigt werden.
Im Mathematikunterricht der Grundschule erwerben die Schülerinnen und Schüler die grund-legenden Kompetenzen der mathematischen Allgemeinbildung. Damit werden die Voraus-setzungen für weiteres Lernen in den Bildungsgängen der Sekundarstufen und für die lebens-lange, erfolgreiche Auseinandersetzung mit mathematikhaltigen Anforderungen geschaffen.
Für die Einbettung der Mathematik in die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler sind Alltagsbezüge und andere Verknüpfungen mit der realen Welt (Kontexte) in allen Phasen des Unterrichts bedeutsam. Bei der Auswahl von Kontexten sind auch die vielfältigen Interessen von Kindern und Jugendlichen zu berücksichtigen. Die Auseinandersetzung mit den Kontexten bietet verstärkt die Möglichkeit, Sprach-, Medien- und Verbraucherbildung zu fördern. Die Vermittlung von Strategien zum Lesen von kontextbezogenen Aufgaben und Fachtexten ist ein Schwerpunkt eines sprachsensiblen und differenzierten Mathematikunterrichts.
Der Aufbau der mathematischen Kompetenzen erfolgt spiralförmig und greift immer wieder auf vorhandene Vorstellungen zurück. Das Ziel ist ein verständnisorientierter Erwerb von mathematischen Begriffen und Verfahrensweisen. Tragfähige Vorstellungen sind die Basis für erfolgreiches mathematisches Lernen. Sie sind keine Sammlung von einzelnen Begriffen, Werkzeugen und Ideen, sondern führen zur Ausbildung eines Netzes, das sich durch Erweiterung von bewährten und durch Zugewinn von neuen Vorstellungen zu einem immer leistungsfähigeren System subjektiver Erfahrungsbereiche, Handlungsvorstellungen und Erklärungsmodelle entwickelt.
Fehlende oder unvollständige Vorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien können beispielsweise eine Ursache für Rechenschwierigkeiten und Verständnislücken sein, denen man frühzeitig präventiv entgegenwirken sollte. Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnen können zwar oft mithilfe von konkreten Materialen eine Handlung durchführen, diese jedoch nicht beschreiben. Hierzu ist eine besondere Unterstützung durch die Lehrkraft erforderlich,
z. B. durch die fortlaufende Anregung der Lernenden zum Sprechen über mathematische Strukturen und Handlungen. Dadurch wird eine Grundlage für das mathematische Operieren in der Vorstellung gelegt.
Zur Diagnose von Lernvoraussetzungen sind individuelle Lernstandserhebungen und der Einsatz diagnostischer Aufgaben notwendig. Die Analyse der Ergebnisse bietet die Grundlage für eine differenzierte Unterrichtsplanung und für entsprechende Lernangebote. Dazu sind passende Aufgaben erforderlich. Unterschiedliche Kenntnisse und Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler erfordern Aufgabenformate, die hinsichtlich ihrer Anforderungen und Bearbeitungsmöglichkeiten variiert werden können. Differenzierte Aufgabenstellungen ermöglichen individuelle Lösungen auf unterschiedlichen Niveaus. Zusätzlich ist eine Unterscheidung zwischen Aufgaben zum Initiieren von Lernprozessen (Lernaufgaben) und Aufgaben zum Überprüfen des Leistungsstandes (Leistungsaufgaben) erforderlich.
Die Art und Weise, wie den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit gegeben wird, sich mit mathematischen Fragen auseinanderzusetzen, ist entscheidend dafür, dass eine positive Grundhaltung zum Fach aufgebaut werden kann. Die Schülerinnen und Schüler werden durchgängig ermutigt, in die Mathematik forschend vorzudringen und lebendig und phantasievoll mit mathematikhaltigen Problemen umzugehen. Forschend-entdeckendes Lernen ermöglicht es dabei in besonderem Maße, Fragen zu entwickeln und zu stellen, verschiedene Lern- und Lösungsstrategien zu entwickeln und anzuwenden sowie selbsttätig neue Inhalte und Zusammenhänge zu erschließen. In vielfältiger Weise werden dabei Kompetenzen erworben bzw. weiterentwickelt und mit dem Vorwissen in Beziehung gesetzt. Diese Herangehensweise an mathematische Fragestellungen wird genutzt, um den Lernenden Gelegenheit zu geben, Handlungskompetenz und ein immer tieferes Verständnis für mathematische Zusammenhänge zu erwerben.
Dem Üben und Vertiefen kommt im Fach Mathematik eine wichtige Rolle zu, um sicheres und vernetztes Wissen zu erhalten. Produktives Üben dient der Vertiefung von Einsichten, der Geläufigkeit und geistigen Beweglichkeit. Automatisierendes Üben festigt das Grundwissen und basiert auf einem sicheren Verständnis der zu übenden Begriffe und Verfahren. Dabei bezieht sich das Üben nicht nur auf die letzte Phase des Aneignungsprozesses, sondern alle Phasen des Unterrichts sollten Anteile von Übung und Wiederholung enthalten. Das Üben von Fertigkeiten, das Reflektieren von Begriffen, das Untersuchen von Strukturen, das Lösen von Problemen – all dies kann in Übungsaufgaben angesprochen werden. Bei der Gestaltung von Übungen ist eine angemessene Individualisierung erforderlich, die die unterschiedlichen Fähigkeiten der Lernenden berücksichtigt. Schülerinnen und Schüler werden dabei zunehmend befähigt, eigenverantwortlich zu üben.
Anforderungsbereich I: Reproduzieren
Dieser Anforderungsbereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.
Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen
Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden.
Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren
Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen,
Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.
Prozessbezogene mathematische Kompetenzen
Die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen werden nicht isoliert, sondern stets im Verbund mit den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen erworben. Dafür muss der Mathematikunterricht so gestaltet werden, dass die Schülerinnen und Schüler diese Kompetenzen schrittweise und individuell gemäß ihren Lernvoraussetzungen und Vor-erfahrungen, ihrem Lerntyp und Lerntempo entwickeln können. Die sechs prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen erfassen die zentralen Aspekte mathematischen Arbeitens. Sie stehen dabei in unterschiedlichem Maße mit den inhaltbezogenen mathematischen Kompetenzen in Verbindung. Während in bestimmten Themengebieten bereits frühzeitig ein erweitertes Niveau einer prozessbezogenen mathematischen Kompetenz erreicht werden kann, kann das in anderen Themengebieten ggf. auch noch nicht der Fall sein.
Im Folgenden werden die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche des Kompetenzmodells im Mathematikunterricht beschrieben. Die Beschreibung führt die Aussagen der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (KMK, 2004) und der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschul- und Mittleren Schulabschluss (KMK, 2003 und 2004) zusammen. Diese Beschreibungen sind Grundlage für die Formu-lierung der Standards im anschließenden Kapitel.
K1] Mathematisch argumentieren
Mathematisches Argumentieren beginnt mit dem Erkunden von Situationen.
Die Schülerinnen und Schüler stellen Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind:
Gibt es …? Wie verändert sich…? Ist das immer so …? Warum ist das so…?
Davon ausgehend stellen sie Vermutungen auf und begründen diese nachvollziehbar durch mathematische Argumentationen wie Erläuterungen, Begründungen und Beweise. Auch das Beschreiben und Begründen von Lösungswegen ist ein Teil des mathematischen Argumen-tierens.
K2] Probleme mathematisch lösen
Mathematisches Problemlösen findet statt, wenn ein unbekannter Lösungsweg entwickelt oder aus verschiedenen Lösungswegen ausgewählt werden muss. Die Schülerinnen und Schüler erschließen dabei Zusammenhänge und stellen Vermutungen auf. Anschließend lösen sie das Problem unter Verwendung heuristischer Strategien und Hilfsmittel, prüfen ihr Ergebnis und reflektieren ihren Lösungsweg bzw. ihr Vorgehen.
[K3] Mathematisch modellieren
Beim mathematischen Modellieren werden in der Regel reale Situationen in mathematische Modelle übersetzt, dort gelöst und zurück in die reale Situation übertragen. Es können auch mathematische Situationen durch reale Handlungen oder Bilder beschrieben werden, die dann als Modell verwendet werden können. Mathematisches Modellieren lässt sich damit als eine Verknüpfung der Schritte Vereinfachen, Mathematisieren, Bearbeiten, Interpretieren und Validieren beschreiben.
[K4] Mathematische Darstellungen verwenden
Die Mathematik bietet verschiedene, sich gegenseitig ergänzende Darstellungsformen:
enaktive Darstellungen (z. B. mit Mehrsystemblöcken, Würfeln)
verbale Beschreibungen (geschriebener oder gesprochener Text)
numerische Darstellungen (z. B. in Tabellenform)
grafische Darstellungen (z. B. Skizzen, Figuren, Funktionsgraphen)
mathematisch-symbolische Darstellungen (z. B. Terme)
Mathematisches Arbeiten zeichnet sich durch Auswählen, Anfertigen und Interpretieren solcher Darstellungen aus. Durch den flexiblen, problemangemessenen Wechsel zwischen ihnen werden mathematische Vorstellungen aktiviert und gefestigt.
Durch die Förderung dieser Kompetenz wird auch ein Beitrag zur Medienbildung geleistet.
[K5] Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen
Das zielgerichtete mathematische Arbeiten erfordert den Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen. Die Schülerinnen und Schüler wählen daher angemessene Verfahren und Werkzeuge (z. B. gedächtnismäßig beherrschte Aufgaben, Formeln) sinnvoll aus und reflektieren ihre Wahl.
Bei der Nutzung mathematischer Hilfsmittel (z. B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Geometriesoftware) spielt auch die Medienbildung eine wichtige Rolle.
[K6] Mathematisch kommunizieren
Die Kommunikation über mathematische Zusammenhänge bzw. mit mathematischen Mitteln umfasst u. a. das verstehende Zuhören sowie das verständige Lesen mathematikhaltiger Texte. Die Sprache ist das zentrale Verständigungsmittel, um beim Arbeiten an mathema-tischen Problemen die Gedanken zu strukturieren und darzulegen. Dieses erfolgt in münd-licher und in schriftlicher Form. Mathematisches Kommunizieren bietet wichtige Ansatzpunkte, den Unterricht sprachsensibel zu gestalten. Die dazu notwendigen sprachlichen Fähigkeiten sollen im Mathematikunterricht ausgehend von der Alltagssprache gezielt angebahnt und auch vertieft werden. Dafür müssen im Unterricht Aufgabenstellungen genutzt werden, die eine gemeinsame Bearbeitung durch alle Schülerinnen und Schüler ermöglichen und damit Sprechanlässe bieten.
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzbereiche (Leitideen)
Im Folgenden werden die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche (Leitideen) des Kompetenzmodells im Mathematikunterricht beschrieben. Die Beschreibung führt die Aussagen der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (KMK, 2004) und der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschul- und Mittleren Schulabschluss (KMK, 2003 und 2004) zusammen. Diese Leitideen sind Grundlage für die Formulierung der Standards im anschließenden Kapitel.
[L1] Zahlen und Operationen
Die Schülerinnen und Schüler entwickeln, ausgehend von den natürlichen Zahlen, tragfähige Vorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien in verschiedenen Zahlenbereichen, die sie z. B. durch den Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen nachweisen.
Sie erfassen und nutzen Beziehungen zwischen Rechenoperationen, entwickeln Rechen-strategien und nutzen diese zum Rechnen, auch in Kontexten.
[L2] Größen und Messen
Die Schülerinnen und Schüler entwickeln im handelnden Umgang tragfähige Größen-vorstellungen. Größen werden gemessen, geschätzt und verglichen. Dabei verinnerlichen die Lernenden die Grundidee des Messens und verstehen den Aufbau von Skalierungen. Sie operieren kontextbezogen mit Maßen und Einheiten insbesondere anhand von Größen, die im täglichen Leben eine Rolle spielen.
In geometrischen Sachverhalten werden Längen, Flächeninhalte, Volumina und Winkelgrößen bestimmt und berechnet.
[L3] Raum und Form
Die Schülerinnen und Schüler orientieren sich im Raum und in der Ebene. Dabei sammeln sie Erfahrungen zu Eigenschaften von geometrischen Objekten, Prozessen und Beziehungen. Sie erfassen zeichnerische Darstellungen und entwickeln ihre eigenen zeichnerischen Fähigkeiten. Ebene Figuren und Körper werden analysiert, klassifiziert und durch Skizzen, Konstruktionen, Netze, Schrägbilder oder Modelle dargestellt. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler auch die Fähigkeit entwickeln, sich geometrische Objekte vorzustellen und mit ihnen in der Vorstellung zu operieren.
Durch die Darstellung geometrischer Situationen mithilfe von Koordinaten werden geo-metrische Probleme der analytischen Bearbeitung zugänglich.
Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden beschrieben und Gesetz-mäßigkeiten begründet, um sie in Sachzusammenhängen zu nutzen.
[L4] Gleichungen und Funktionen
Variablen, Terme und Gleichungen werden strukturell zur Beschreibung von inner- und außermathematischen Situationen verwendet. Ausgehend von den Rechengesetzen für Zahlen entwickeln die Schülerinnen und Schüler ein Verständnis für das Operieren mit Variablen.
Bereits in der Primarstufe nutzen und verstehen die Schülerinnen und Schüler strukturierte Darstellungen. Sie erkennen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten in geometrischen bzw. arithmetischen Mustern und gehen dazu über, in Sachsituationen funktionale Zusammen-hänge zur Beschreibung und Problemlösung zu nutzen.
Funktionen sind ein zentrales Mittel zur mathematischen Beschreibung quantitativer Zusammenhänge. Mit ihnen lassen sich Phänomene der Abhängigkeit und der Veränderung erfassen und analysieren. Damit sind Funktionen zur Bearbeitung einer Vielzahl von Realsituationen aus Natur, Wissenschaft und Gesellschaft als Modelle geeignet.
Das Arbeiten mit Funktionen ist gekennzeichnet durch den Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen.
[L5] Daten und Zufall
Die Schülerinnen und Schüler sammeln und dokumentieren Daten, stellen sie grafisch dar, fassen sie mithilfe statistischer Kennwerte numerisch zusammen, beschreiben und inter-pretieren sie.
Ausgehend von Wahrscheinlichkeitsschätzungen und experimentellen Untersuchungen werden Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen beschrieben. Auf der Basis von kombinatorischen Überlegungen sowie durch Verfahren und Begriffe der Wahrscheinlich-keitsrechnung können Zufallserscheinungen verstanden sowie qualitativ und quantitativ erfasst werden. Auf diese Weise gelangen die Lernenden zu fundierten und kontrollierten Urteilen in realen Entscheidungssituationen und entwickeln ein grundlegendes Verständnis für Simulationen und Prognosen.
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</c1>
<c2>
<vorwort>
<id>C-MA-2-BE</id>
<title>Regelungen für das Land Berlin</title>
<content>
Die Standards beschreiben auf unterschiedlichen Niveaustufen, welche Kompetenzen
Schülerinnen und Schüler im Laufe ihrer Schulzeit im Fachunterricht erwerben, je nachdem, über welche Lernvoraussetzungen sie verfügen und welchen Abschluss bzw. Übergang sie zu welchem Zeitpunkt anstreben. Die Standards orientieren sich am Kompetenzmodell und an den fachlichen Unterrichtszielen. Sie berücksichtigen die Anforderungen der Lebens- und zukünftigen Arbeitswelt der Lernenden.
Die im Kapitel 3 aufgeführten Themen und Inhalte können auf unterschiedlichen Niveaustufen angeboten werden.
Schülerinnen und Schüler mit Sinnes- und Körperbehinderungen und anderen Beeinträchtigungen erhalten behindertenspezifisch aufbereitete Lernangebote, die es ihnen ermöglichen, den gewählten Bildungsgang erfolgreich abzuschließen.
Bei den Standards handelt es sich um Regelstandards. Sie beschreiben, welche Voraussetzungen die Lernenden in den Jahrgangsstufen 1 bis 10 erfüllen müssen, um Übergänge erfolgreich zu bewältigen bzw. Abschlüsse zu erreichen. Sie stellen in ihren jeweiligen Niveaustufen steigende Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler im Laufe ihres individuellen Lernens dar, sodass Standards höherer Niveaustufen darunterliegende einschließen.
Ein differenziertes Unterrichtsangebot stellt sicher, dass die Schülerinnen und Schüler ihren individuellen Voraussetzungen entsprechend lernen können. Das Unterrichtsangebot berücksichtigt in den verschiedenen Jahrgangsstufen die jeweils gesetzten Anforderungen. Es ist Aufgabe der Lehrkräfte, die Schülerinnen und Schüler dabei zu unterstützen, die in den Standards formulierten Anforderungen zu verstehen, damit sie sich unter Anleitung und mit steigendem Alter zunehmend selbstständig auf das Erreichen des jeweils nächsthöheren
Niveaus vorbereiten können.
Die Anforderungen werden auf acht Stufen ausgewiesen, die durch die Buchstaben A bis H gekennzeichnet sind. Die Niveaustufen beschreiben die bildungsgangbezogenen Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler.
Für die Lehrkräfte verdeutlichen sie in Kombination mit den für ihre Schulstufe und Schulform gültigen Rechtsvorschriften, auf welchem Anforderungsniveau sie in der jeweiligen Jahrgangs-stufe Unterrichtsangebote unterbreiten müssen.
Die Standards werden als Basis für die Feststellung des Lern- und Leistungsstands und der darauf aufbauenden individuellen Förderung und Lernberatung genutzt. Dafür werden differenzierte Aufgabenstellungen und Unterrichtsmaterialien verwendet, die die individuellen Lernvoraussetzungen und Lerngeschwindigkeiten berücksichtigen und dafür passgerechte Angebote bereitstellen.
Die Leistungsbewertung erfolgt auf der Grundlage der geltenden Rechts- und Verwaltungsvorschriften.
Im schulinternen Curriculum dienen die Standards als Grundlage für die Festlegungen zur Qualitätsentwicklung und -sicherung im Unterricht.
Die im Teil B formulierten Standards für die Sprach- und Medienkompetenz der Schülerinnen und Schüler werden in den fachlichen Standards in diesem Kapitel berücksichtigt. Der Beitrag der Fächer zur Förderung von Sprach- und Medienkompetenz wird im Rahmen des schulinternen Curriculums abgestimmt.
Für Grundschulen und Grundstufen der Gemeinschaftsschulen sowie an
weiterführenden Schulen mit den Jahrgangsstufen 5 und 6 gilt:
Schulanfangsphase Niveaustufen A, B, in Teilen C
Jahrgangsstufen 3 – 4 Niveaustufe C, in Teilen D
Jahrgangsstufe 5 Niveaustufen C – D
Jahrgangsstufe 6 Niveaustufe D, in Teilen E
Schülerinnen und Schüler mit dem sonderpädagogischen Förderbedarf Lernen
werden auf folgenden Niveaustufen unterrichtet:
Jahrgangsstufe 3 Niveaustufe B, in Teilen C
Jahrgangsstufen 4 – 6 Niveaustufe C
Jahrgangsstufen 7 – 8 Niveaustufe D
Jahrgangsstufen 9 – 10 Niveaustufen D – E
Zur Vorbereitung auf den der Berufsbildungsreife gleichwertigen Abschluss werden in den Jahrgangsstufen 9 und 10 auch Angebote auf dem Niveau F unterbreitet.
Je nach dem Grad der Lernbeeinträchtigung erreichen die Schülerinnen und Schüler die
gesetzten Standards nicht im vollen Umfang bzw. nicht zum vorgegebenen Zeitpunkt. Dem trägt eine individuelle Ausrichtung des Unterrichtsangebots Rechnung.
Für die Integrierte Sekundarschule gilt:
grundlegendes Niveau:
Jahrgangsstufen 7 – 8 Niveaustufen D – E, in Teilen F
Jahrgangsstufen 9 – 10 Niveaustufe F, in Teilen G
erweitertes Niveau:
Jahrgangsstufen 7 – 8 Niveaustufe E, in Teilen F
Jahrgangsstufen 9 – 10 Niveaustufen F – G
Für das Gymnasium gilt:
Jahrgangsstufe 7 Niveaustufe E
Jahrgangsstufe 8 Niveaustufe F
Jahrgangsstufe 9 Niveaustufe G
Jahrgangsstufe 10 Niveaustufe H
Die folgende Darstellung veranschaulicht die im Berliner Schulsystem in den Jahrgangsstufen 1 bis 10 möglichen Lerngeschwindigkeiten im Überblick und zeigt die Durchlässigkeit des Schulsystems. Sie bietet zudem eine Grundlage für eine systematische Schullaufbahn-beratung. In der Darstellung ist auch erkennbar, welche Anforderungen Schülerinnen und Schüler erfüllen müssen, die die Voraussetzungen für den Erwerb der Berufsbildungsreife erst am Ende der Jahrgangsstufe 10 erreichen. Dieses Niveau können auch Schülerinnen und Schüler mit dem sonderpädagogischen Förderschwerpunkt Lernen erreichen, wenn sie den der Berufsbildungsreife gleichwerten Abschluss anstreben.
Der Unterricht im Fach Mathematik und die nachfolgend beschriebenen Standards richten sich nach der innermathematischen Kompetenzentwicklung. Die in Kapitel 2.2 aufgelisteten inhaltsbezogenen Standards sind dabei unmittelbar an die in Kapitel 3 dargestellten Themen und Inhalte gekoppelt. Zusätzlich wird die Gestaltung des Unterrichts auf den einzelnen Niveaustufen auch durch die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen sowie die verschiedenen Anforderungsbereiche bestimmt. (siehe auch Kapitel 3, S. 32 f.)
Für die Jahrgangsstufen 1 bis 6 kann als Orientierung dienen, dass in der Regel die Niveau-stufe B am Ende der Jahrgangsstufe 2, C am Ende der Jahrgangsstufe 4 und D am Ende der Jahrgangsstufe 6 erreicht werden soll.
Die Standards der Niveaustufen E und F sowie G und H sind innerhalb der Doppeljahrgangs-stufen 7/8 sowie 9/10 geeignet miteinander zu verzahnen.
Insbesondere an Gymnasien können durch geeignete inhaltliche Verknüpfungen in der Jahr-gangsstufe 8 Vorgriffe auf die in G bzw. H beschriebenen Standards erfolgen.
Die Niveaustufe H beschreibt die Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase. In Klassen, die in 13 Jahren zum Abitur führen, kann sie auch am Ende der Jahrgangsstufe 11 erreicht werden.
Die Anforderungen für die jeweiligen Jahrgangsstufen werden im schulinternen Curriculum festgelegt. Dies gilt auch für das Wahlpflichtfach Mathematik.
Beim Unterrichten muss berücksichtigt werden, dass Lernende die noch nicht bewältigten Niveaustufen in späteren Jahrgangsstufen erreichen können. Deshalb beschreiben zwar z. B. die Standards in Stufe D den Übergang in die Sekundarstufe, es ist aber möglich, dass auch in Jahrgangsstufe 7 noch auf der Niveaustufe D unterrichtet werden muss.
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</vorwort>
<vorwort>
<id>C-MA-2-BB</id>
<title>Regelungen für das Land Brandenburg</title>
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Die Standards beschreiben auf unterschiedlichen Niveaustufen, welche Kompetenzen
Schülerinnen und Schüler im Laufe ihrer Schulzeit im Fachunterricht erwerben, je nachdem, über welche Lernvoraussetzungen sie verfügen und welchen Abschluss bzw. Übergang sie zu welchem Zeitpunkt anstreben. Die Standards orientieren sich am Kompetenzmodell und an den fachlichen Unterrichtszielen. Sie berücksichtigen die Anforderungen der Lebens- und zukünftigen Arbeitswelt der Lernenden.
Die im Kapitel 3 aufgeführten Themen und Inhalte können auf unterschiedlichen Niveaustufen angeboten werden.
Schülerinnen und Schüler mit Sinnes- und Körperbehinderungen und anderen Beeinträchtigungen erhalten behindertenspezifisch aufbereitete Lernangebote, die es ihnen ermöglichen, den gewählten Bildungsgang erfolgreich abzuschließen.
Bei den Standards handelt es sich um Regelstandards. Sie beschreiben, welche Voraussetzungen die Lernenden in den Jahrgangsstufen 1 bis 10 erfüllen müssen, um Übergänge erfolgreich zu bewältigen bzw. Abschlüsse zu erreichen. Sie stellen in ihren jeweiligen Niveaustufen steigende Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler im Laufe ihres individuellen Lernens dar, sodass Standards höherer Niveaustufen darunterliegende einschließen.
Ein differenziertes Unterrichtsangebot stellt sicher, dass die Schülerinnen und Schüler ihren individuellen Voraussetzungen entsprechend lernen können. Das Unterrichtsangebot berücksichtigt in den verschiedenen Jahrgangsstufen die jeweils gesetzten Anforderungen. Es ist Aufgabe der Lehrkräfte, die Schülerinnen und Schüler dabei zu unterstützen, die in den Standards formulierten Anforderungen zu verstehen, damit sie sich unter Anleitung und mit steigendem Alter zunehmend selbstständig auf das Erreichen des jeweils nächsthöheren
Niveaus vorbereiten können.
Die Anforderungen werden auf acht Stufen ausgewiesen, die durch die Buchstaben A bis H gekennzeichnet sind. Die Niveaustufen beschreiben die bildungsgangbezogenen Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler.
Für die Lehrkräfte verdeutlichen sie in Kombination mit den für ihre Schulstufe und Schulform gültigen Rechtsvorschriften, auf welchem Anforderungsniveau sie in der jeweiligen Jahrgangs-stufe Unterrichtsangebote unterbreiten müssen.
Die Standards werden als Basis für die Feststellung des Lern- und Leistungsstands und der darauf aufbauenden individuellen Förderung und Lernberatung genutzt. Dafür werden differenzierte Aufgabenstellungen und Unterrichtsmaterialien verwendet, die die individuellen Lernvoraussetzungen und Lerngeschwindigkeiten berücksichtigen und dafür passgerechte Angebote bereitstellen.
Die Leistungsbewertung erfolgt auf der Grundlage der geltenden Rechts- und Verwaltungsvorschriften.
Im schulinternen Curriculum dienen die Standards als Grundlage für die Festlegungen zur Qualitätsentwicklung und -sicherung im Unterricht.
Die im Teil B formulierten Standards für die Sprach- und Medienkompetenz der Schülerinnen und Schüler werden in den fachlichen Standards in diesem Kapitel berücksichtigt. Der Beitrag der Fächer zur Förderung von Sprach- und Medienkompetenz wird im Rahmen des schulinternen Curriculums abgestimmt.
Grundschule
Die folgenden tabellarischen Darstellungen beschreiben, zu welchen Zeitpunkten Schülerinnen und Schüler in der Regel im Bildungsgang der Grundschule Niveaustufen durchlaufen bzw. erreichen. Die Lehrkräfte stellen in den jeweiligen Niveaustufen steigende Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler, sodass Standards höherer Niveaustufen von ihnen erreicht werden können.
Für Grundschulen und für Primarstufen von Ober- und Gesamtschulen sowie
für weiterführende allgemeinbildende Schulen mit den Jahrgangsstufen 5 und 6 gilt:
Jahrgangsstufen 1 – 2 Niveaustufen A und B
Jahrgangsstufen 3 – 4 Niveaustufe C
Jahrgangsstufen 5 – 6 Niveaustufe D
Förderschwerpunkt Lernen
Die folgende tabellarische Darstellung beschreibt, zu welchen Zeitpunkten Schülerinnen und Schüler in der Regel im Bildungsgang zum Erwerb des Abschlusses der Schule mit dem sonderpädagogischen Förderschwerpunkt Lernen Niveaustufen durchlaufen bzw. erreichen. Die Lehrkräfte stellen in den jeweiligen Niveaustufen steigende Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler, sodass Standards höherer Niveaustufen von ihnen erreicht werden können.
Schülerinnen und Schüler mit dem sonderpädagogischen Förderbedarf Lernen
werden auf folgenden Niveaustufen unterrichtet:
Jahrgangsstufen 1 – 2 Niveaustufen A und B
Jahrgangsstufe 3 Niveaustufe B
Jahrgangsstufen 4 – 6 Niveaustufe C
Jahrgangsstufen 7 – 8 Niveaustufe D
Jahrgangsstufen 9 – 10 Niveaustufen D und E
Schülerinnen und Schüler, für die sonderpädagogischer Förderbedarf im Förderschwerpunkt Lernen festgestellt worden ist und die dem Bildungsgang Förderschule Lernen gemäß
§ 30 BbgSchulG zugeordnet sind, erhalten im Unterricht Lernangebote, die ein Erreichen der Niveaustufen A, B, C, D und E ermöglichen sollen. Hierbei sind die individuellen Lernvoraus-setzungen der Schülerinnen und Schüler zu berücksichtigen.
In diesem Bildungsgang wird mit der Niveaustufe E das gemeinsame Bildungsziel am Ende der Jahrgangsstufe 10 abgebildet.
Zur Vorbereitung auf den der Berufsbildungsreife entsprechenden Abschluss wird in den Jahrgangsstufen 9 und 10 schülerbezogen auch auf dem Niveau F unterrichtet.
Schulen der Sekundarstufe I
Ausgehend vom grundlegenden, erweiterten und vertieften Anspruchsniveau unterscheidet sich der Unterricht in der Sekundarstufe I in der Art der Erschließung, der Vertiefung und dem Grad der Komplexität der zugrunde gelegten Themen und Inhalte. Bei der inneren
Organisation in Klassen und Kursen ist dies zu berücksichtigen.
Die folgenden tabellarischen Darstellungen beschreiben, zu welchen Zeitpunkten Schülerinnen und Schüler in der Regel in den verschiedenen Bildungsgängen der Sekundarstufe I
Niveaustufen durchlaufen bzw. erreichen. Der Unterricht enthält immer auch Angebote auf der jeweils höheren Niveaustufe.
Am Unterricht in Fächern ohne äußere Fachleistungsdifferenzierung nehmen Schülerinnen und Schüler mit unterschiedlichen Lernvoraussetzungen teil. Die dem Unterricht zugrunde gelegte Niveaustufe ist daher so zu wählen, dass sie für alle Lernenden eine optimale Förderung ermöglicht.
a) Oberschule
In der EBR-Klasse des kooperativen Modells und im A-Kurs des integrativen Modells wird im Unterricht eine grundlegende Bildung vermittelt. Den einzelnen Jahrgangsstufen sind hierbei folgende Niveaustufen zugeordnet:
Jahrgangsstufe 7 Niveaustufen D und E
Jahrgangsstufe 8 Niveaustufen E und F
Jahrgangsstufe 9 Niveaustufe F
Jahrgangsstufe 10 Niveaustufen F und G
In der FOR-Klasse des kooperativen Modells sowie im B-Kurs des integrativen Modells wird im Unterricht eine erweiterte Bildung vermittelt. Den einzelnen Jahrgangsstufen sind hierbei folgende Niveaustufen zugeordnet:
Jahrgangsstufe 7 Niveaustufe E
Jahrgangsstufe 8 Niveaustufen E und F
Jahrgangsstufe 9 Niveaustufen F und G
Jahrgangsstufe 10 Niveaustufe G
In Fächern ohne äußere Fachleistungsdifferenzierung ist der Unterricht so zu gestalten, dass sowohl eine grundlegende als auch eine erweiterte Bildung vermittelt wird. Hierbei sind die für die Oberschule dargestellten Niveaustufen zugrunde zu legen.
b) Gesamtschule
Im G-Kurs der Gesamtschule wird zur Sicherung der Durchlässigkeit zum E-Kurs neben der grundlegenden Bildung auch die erweiterte Bildung vermittelt. Im E-Kurs der
Gesamtschule wird zur Sicherung der Durchlässigkeit zum G-Kurs neben der vertieften Bildung auch die erweiterte Bildung vermittelt.
In Fächern ohne äußere Fachleistungsdifferenzierung ist der Unterricht so zu gestalten, dass eine grundlegende, erweiterte und vertiefte Bildung vermittelt wird. Hierbei sind die für die Oberschule und das Gymnasium dargestellten Niveaustufen zugrunde zu legen.
c) Gymnasium
In den Klassen des Gymnasiums wird im Unterricht eine vertiefte Bildung vermittelt. Den einzelnen Jahrgangsstufen sind hierbei folgende Niveaustufen zugeordnet:
Jahrgangsstufe 7 Niveaustufe E
Jahrgangsstufe 8 Niveaustufe F
Jahrgangsstufe 9 Niveaustufe G
Jahrgangsstufe 10 Niveaustufe H
Der Unterricht im Fach Mathematik und die nachfolgend beschriebenen Standards richten sich nach der innermathematischen Kompetenzentwicklung. Die in Kapitel 2.2 dargestellten inhaltsbezogenen Standards sind dabei unmittelbar an die in Kapitel 3 dargestellten Themen und Inhalte gekoppelt. Zusätzlich wird die Gestaltung des Unterrichts auf den einzelnen Niveaustufen auch durch die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen sowie die verschiedenen Anforderungsbereiche bestimmt. (siehe auch Kapitel 3, S. 32 f.)
Für die Jahrgangsstufen 1 bis 6 kann als Orientierung dienen, dass in der Regel die Niveau-stufe B am Ende der Jahrgangsstufe 2, C am Ende der Jahrgangsstufe 4 und D am Ende der Jahrgangsstufe 6 erreicht werden soll.
Die Standards der Niveaustufen E und F sowie G und H sind innerhalb der Doppeljahrgangs-stufen 7/8 sowie 9/10 geeignet miteinander zu verzahnen.
Insbesondere an Gymnasien können durch geeignete inhaltliche Verknüpfungen in der Jahr-gangsstufe 8 Vorgriffe auf die in G bzw. H beschriebenen Standards erfolgen.
Die Niveaustufe H beschreibt die Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase. In Klassen, die in 13 Jahren zum Abitur führen, kann sie auch am Ende der Jahrgangsstufe 11 erreicht werden.
Die Anforderungen für die jeweiligen Jahrgangsstufen werden im schulinternen Curriculum festgelegt. Dies gilt auch für das Wahlpflichtfach Mathematik.
Beim Unterrichten in allen Schulformen muss berücksichtigt werden, dass Lernende die noch nicht bewältigten Niveaustufen in späteren Jahrgangsstufen erreichen können. Deshalb beschreiben zwar z. B. die Standards in Stufe D den Übergang in die Sekundarstufe, es ist aber möglich, dass auch in Klasse 7 noch auf der Niveaustufe D unterrichtet werden muss.
</content>
</vorwort>
<area>
<id>MA-K</id>
<name>Prozessbezogene Kompetenzbereiche</name>
<subarea>
<id>MA-K1</id>
<name>Mathematisch argumentieren</name>
<competence>
<id>MA-K1-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K1-1-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K1-1-AH-1</id>
<content>Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind (Gibt es …? Wie verändert sich …? Ist das immer so …?)</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-1-AH-2</id>
<content>Zusammenhänge und Strukturen erkennen und Vermutungen zu mathematischen Situationen aufstellen die Plausibilität von Vermutungen begründen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-1-AH-3</id>
<content>die Plausibilität von Vermutungen begründen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K1-2</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K1-2-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K1-2-AH-1</id>
<content>Beispiele oder Gegenbeispiele für mathematische Aussagen finden</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-2-AH-2</id>
<content>mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K1-3</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K1-3-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K1-3-AH-1</id>
<content>Routineargumenta-tionen wiedergeben</content>
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<id>MA-K1-3-AH-2</id>
<content>Begründungen nachvollziehen und zunehmend selbstständig entwickeln</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-3-AH-3</id>
<content>mehrschrittige Argumentationen zur Begründung und zum Beweisen mathematischer Aussagen entwickeln</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K1-4</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K1-4-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K1-4-AH-1</id>
<content>Fehler erkennen, beschreiben und korrigieren</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-4-AH-2</id>
<content>Ergebnisse bezüglich ihres Anwendungs-kontextes bewerten</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K1-4-AH-3</id>
<content>mehrschrittige Argumentationen, Begründungen und Beweise kritisch hinterfragen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
</subarea>
<subarea>
<id>MA-K2</id>
<name>Probleme mathematisch lösen</name>
<competence>
<id>MA-K2-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K2-1-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K2-1-AH-1</id>
<content>Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K2-1-AH-2</id>
<content>mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K2-1-AH-3</id>
<content>Probleme selbst formulieren</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K2-2</id>
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<stufe>
<id>MA-K2-2-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K2-2-AH-1</id>
<content>Lösungsstrategien (z. B. vom Probieren zum systematischen Probieren) entwickeln und nutzen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K2-2-AH-2</id>
<content>heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden</content>
</standard>
</stufe>
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<competence>
<id>MA-K2-3</id>
<name></name>
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<id>MA-K2-3-AH</id>
<level>AH</level>
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<id>MA-K2-3-AH-1</id>
<content>Zusammenhänge erkennen und Lösungsstrategien auf ähnliche Sachverhalte übertragen</content>
</standard>
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<id>MA-K2-3-AH-2</id>
<content>Lösungswege reflektieren</content>
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<standard>
<id>MA-K2-3-AH-3</id>
<content>Plausibilität von Ergebnissen überprüfen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
</subarea>
<subarea>
<id>MA-K3</id>
<name>Mathematisch modellieren</name>
<competence>
<id>MA-K3-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K3-1-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K3-1-AH-1</id>
<content>relevante Informationen aus Sachtexten und anderen Darstellungen entnehmen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K3-1-AH-2</id>
<content>reale Situationen strukturieren und vereinfachen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K3-1-AH-3</id>
<content>Sachsituationen in die Sprache der Mathematik übersetzen und entsprechende Aufgaben innermathematisch lösen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K3-1-AH-4</id>
<content>reale Situationen mit mathematischen Modellen beschreiben</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K3-2</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K3-2-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K3-2-AH-1</id>
<content>Sachaufgaben zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen formulieren</content>
</standard>
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<id>MA-K3-2-AH-2</id>
<content>mathematische Lösungen in Bezug auf die Ausgangssituation prüfen und interpretieren</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K3-2-AH-3</id>
<content>zu einem mathematischen Modell verschiedene Realsituationen angeben</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K3-2-AH-4</id>
<content>verwendete Modelle reflektieren</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
</subarea>
<subarea>
<id>MA-K4</id>
<name>Mathematische Darstellungen verwenden</name>
<competence>
<id>MA-K4-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K4-1-AH</id>
<level>AH</level>
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<id>MA-K4-1-AH-1</id>
<content>geeignete Darstellungen für das Bearbeiten mathema-tischer Sachverhalte und Probleme auswählen, nutzen und entwickeln</content>
</standard>
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<id>MA-K4-1-AH-2</id>
<content>Darstellungen zielgerichtet verändern</content>
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<id>MA-K4-2</id>
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<stufe>
<id>MA-K4-2-AH</id>
<level>AH</level>
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<id>MA-K4-2-AH-1</id>
<content>eine Darstellung in eine andere übertragen</content>
</standard>
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<id>MA-K4-2-AH-2</id>
<content>zwischen verschiedenen Darstellungen und Darstellungsebenen wechseln (übersetzen)</content>
</standard>
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<id>MA-K4-3</id>
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<stufe>
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<level>AH</level>
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<id>MA-K4-3-AH-1</id>
<content>verschiedene Darstellungen vergleichen</content>
</standard>
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<id>MA-K4-3-AH-2</id>
<content>Darstellungen bewerten oder interpretieren</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
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<subarea>
<id>MA-K5</id>
<name>Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen</name>
<competence>
<id>MA-K5-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K5-1-AH</id>
<level>AH</level>
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<id>MA-K5-1-AH-1</id>
<content>Tabellen, Terme, Gleichungen und Diagramme zur Beschreibung von Sachverhalten nutzen</content>
</standard>
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<id>MA-K5-1-AH-2</id>
<content>Variablen und Funktionen zur Bearbeitung von Aufgaben nutzen</content>
</standard>
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<id>MA-K5-1-AH-3</id>
<content>symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt</content>
</standard>
</stufe>
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<id>MA-K5-2</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K5-2-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K5-2-AH-1</id>
<content>formale Rechenstrategien (schnelles Kopfrechnen und automatisierte Verfahren) ausführen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K5-2-AH-2</id>
<content>mathematische Verfahren routiniert ausführen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K5-2-AH-3</id>
<content>Kontrollverfahren nutzen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K5-2-AH-4</id>
<content>Lösungs- und Kontroll-verfahren hinsichtlich ihrer Effizienz bewerten</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K5-3</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K5-3-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K5-3-AH-1</id>
<content>mathematische Hilfsmittel und Werkzeuge sachgerecht auswählen und flexibel einsetzen</content>
</standard>
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</competence>
</subarea>
<subarea>
<id>MA-K6</id>
<name>Mathematisch kommunizieren</name>
<competence>
<id>MA-K6-1</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K6-1-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K6-1-AH-1</id>
<content>eigene Vorgehens-weisen beschreiben, Lösungswege anderer nachvollziehen und gemeinsam Lösungs-wege reflektieren</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K6-1-AH-2</id>
<content>mathematische Zusammenhänge adressatengerecht beschreiben</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K6-1-AH-3</id>
<content>eigene Problem-bearbeitungen und Einsichten dokumen-tieren und darstellen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K6-2</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K6-2-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K6-2-AH-1</id>
<content>relevante Informationen aus Sachtexten und anderen Darstellungen entnehmen und sich darüber mit anderen austauschen</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K6-2-AH-2</id>
<content>mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und in nicht aufbereiteten, authentischen Texten erfassen, analysieren und bewerten</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K6-3</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K6-3-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K6-3-AH-1</id>
<content>mathematische Fach-begriffe und Zeichen bei der Beschreibung und Dokumentation von Lösungswegen sachgerecht verwenden</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K6-3-AH-2</id>
<content>mathematische Zusammenhänge unter Nutzung von Fachsprache und geeigneten Medien mündlich und schriftlich präsentieren</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-K6-4</id>
<name></name>
<stufe>
<id>MA-K6-4-AH</id>
<level>AH</level>
<standard>
<id>MA-K6-4-AH-1</id>
<content>Aufgaben gemeinsam bearbeiten</content>
</standard>
<standard>
<id>MA-K6-4-AH-2</id>
<content>Verabredungen treffen und einhalten</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
</subarea>
</area>
<area>
<id>MA-L</id>
<name>Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche (Leitideen)</name>
<subarea>
<id>MA-L1</id>
<name>Zahlen und Operationen</name>
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<id>MA-L1-1</id>
<name>Zahlen auffassen und darstellen</name>
<stufe>
<id>MA-L1-1-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-A-1</id>
<content>kleine Anzahlen bestimmen</content>
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</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-B</id>
<level>B</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-B-1</id>
<content>natürliche Zahlen bis 100 darstellen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-C</id>
<level>C</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-C-1</id>
<content>natürliche Zahlen bis 1 Million darstellen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-D</id>
<level>D</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-D-1</id>
<content>Zahlen darstellen (auch gebrochene Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-E</id>
<level>E</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-E-1</id>
<content>Zahlen darstellen (auch rationale Zahlen)</content>
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</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-F</id>
<level>F</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-F-1</id>
<content>Zahlen darstellen (auch Zahlen in Potenzschreibweise)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-G</id>
<level>G</level>
<standard>
<id>MA-L1-1-G-1</id>
<content>Zahlen darstellen (auch reelle Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-1-H</id>
<level>H</level>
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<id>MA-L1-1-H-1</id>
<content>Zahlen sachgerecht darstellen</content>
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</competence>
<competence>
<id>MA-L1-2</id>
<name>Zahlen ordnen</name>
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<id>MA-L1-2-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-A-1</id>
<content>kleine Anzahlen vergleichen</content>
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</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-B</id>
<level>B</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-B-1</id>
<content>natürliche Zahlen bis 100 ordnen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-C</id>
<level>C</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-C-1</id>
<content>natürliche Zahlen bis 1 Million ordnen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-D</id>
<level>D</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-D-1</id>
<content>Zahlen ordnen (auch gebrochene Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-E</id>
<level>E</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-E-1</id>
<content>Zahlen ordnen (auch rationale Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-F</id>
<level>F</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-F-1</id>
<content>Zahlen ordnen (auch Zahlen in Potenzschreibweise)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-G</id>
<level>G</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-G-1</id>
<content>Zahlen ordnen (auch reelle Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-2-H</id>
<level>H</level>
<standard>
<id>MA-L1-2-H-1</id>
<content>Näherungsverfahren zur Bestimmung reeller Zahlen nutzen</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-L1-3</id>
<name>Zahlbeziehungen beschreiben</name>
<stufe>
<id>MA-L1-3-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-A-1</id>
<content>Mengen zerlegen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-B</id>
<level>B</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-B-1</id>
<content>Zahlbeziehungen der natürlichen Zahlen bis 100 beschreiben</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-C</id>
<level>C</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-C-1</id>
<content>Zahlbeziehungen der natürlichen Zahlen bis 1 Million beschreiben</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-D</id>
<level>D</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-D-1</id>
<content>Zahlbeziehungen beschreiben (auch gebrochene Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-E</id>
<level>E</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-E-1</id>
<content>Zahlbeziehungen beschreiben (auch rationale Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-F</id>
<level>F</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-F-1</id>
<content>Zahlenbereiche zueinander in Beziehung setzen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-G</id>
<level>G</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-G-1</id>
<content>Zahlenbereiche in Beziehung setzen (auch reelle Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-3-H</id>
<level>H</level>
<standard>
<id>MA-L1-3-H-1</id>
<content>---</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-L1-4</id>
<name>Operationsvorstellungen entwickeln</name>
<stufe>
<id>MA-L1-4-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-A-1</id>
<content>additive und subtraktive Handlungen ausführen
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-B</id>
<level>B</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-B-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 beschreiben
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-C</id>
<level>C</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-C-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Million beschreiben
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-D</id>
<level>D</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-D-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den vier Grundrechenoperationen beschreiben (auch im Bereich der gebrochenen Zahlen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-E</id>
<level>E</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-E-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den Grundrechenoperationen beschreiben (auch im Bereich der rationalen Zahlen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-F</id>
<level>F</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-F-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den Rechenoperationen beschreiben
(auch für Potenzen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-G</id>
<level>G</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-G-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den Rechenoperationen beschreiben (auch im Bereich der reellen Zahlen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-4-H</id>
<level>H</level>
<standard>
<id>MA-L1-4-H-1</id>
<content>Zusammenhänge zwischen den Rechenoperationen beschreiben (auch beim Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten)
</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
<competence>
<id>MA-L1-5</id>
<name>Rechenverfahren und -strategien anwenden</name>
<stufe>
<id>MA-L1-5-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-A-1</id>
<content>die Reihenfolge bei additiven Handlungen vertauschen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-B</id>
<level>B</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-B-1</id>
<content>Rechenstrategien und Gesetze der Grundrechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen bis 100 situationsangemessen nutzen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-C</id>
<level>C</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-C-1</id>
<content>Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und Gesetze der Grundrechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen bis 1 Million situationsangemessen nutzen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-D</id>
<level>D</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-D-1</id>
<content>Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und Gesetze der Grundrechenoperationen nutzen (auch im Bereich der gebrochenen Zahlen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-E</id>
<level>E</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-E-1</id>
<content>Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und Gesetze der Grundrechenoperationen nutzen (auch im Bereich der rationalen Zahlen)
</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-F</id>
<level>F</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-F-1</id>
<content>erworbene Rechenverfahren und -strategien vertiefend auf neue Sachverhalte und im Zusammenhang anwenden</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-G</id>
<level>G</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-G-1</id>
<content>Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und -gesetze nutzen (auch im Bereich der reellen Zahlen)</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>
<id>MA-L1-5-H</id>
<level>H</level>
<standard>
<id>MA-L1-5-H-1</id>
<content>Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und -gesetze nutzen (auch beim Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten)</content>
</standard>
</stufe>
</competence>
</subarea>
<subarea>
<id>MA-L2</id>
<name>Größen und Messen</name>
<competence>
<id>MA-L2-1</id>
<name>Vorstellungen zu Größen und ihren Einheiten nutzen</name>
<stufe>
<id>MA-L2-1-A</id>
<level>A</level>
<standard>
<id>MA-L2-1-A-1</id>
<content>ausgewählte Alltagssituationen und Messinstrumente einander zuordnen</content>
</standard>
</stufe>
<stufe>